Олимпиадные задачи по математике. Подборка задач для школьников
- Может ли шахматный конь пройти с поля а1 на поле h8, побывав по дороге на каждом из остальных полей ровно один раз?
- Можно ли покрыть шахматную доску костяшками домино 1х2 так, чтобы свободными остались только клетки а1 и h8?
- На столе лежит куча из 1001 камня. Ход состоит в том, что из какой-либо кучи, содержащей более одного камня, выкидывают камень, а затем одну из куч делят на две. Можно ли через несколько ходов оставить на столе только кучи, состоящие из трех камней.
- Можно ли расставить числа в квадратной таблице 5х5 так, чтобы сумма чисел в каждой строке была положительной, а в каждом столбце – отрицательной?
- В комнате стояли стулья (с четырьмя ножками) и табуреты (с тремя ножками). Когда на каждый стул и каждый табурет село по одному школьнику, то общее число “ног” в комнате составило 39. Сколько стульев и сколько табуретов стояло в комнате?
- Можно ли квадрат со стороной 20 см разрезать на 10 попарно не равных квадратов, длины сторон которых выражаются целым числом сантиметров?
- Найдите все квадратные трехчлены \(x^2+px+q\) такие, что каждый из их коэффициентов \(p\) и \(q\) является и их корнем.
- Можно ли в каждом из равенств БУ+РА+ТИ=НО, ПИ+НО+КК=ИО заменить одинаковые буквы одинаковыми цифрами, а разные буквы – разными цифрами так, чтобы оба этих равенства оказались верными?
- Натуральные числа \(m\) и \(n\) удовлетворяют равенству \((m-n)^2=\frac{4mn}{m+n-1}\). Докажите, что их сумма \(m+n\) является квадратом натурального числа.
- Существуют ли 2002 ненулевых числа, никакие два из которых не равны между собой, такие, что их сумма равна их произведению?