Олимпиадные задачи по математике. Подборка задач для школьников
-
Верно ли, что для любого нечетного числа \(a\) число \((100+a)^5+1\) является составным?
-
Найдите углы треугольника, если две его высоты не меньше сторон, на которые они опущены.
-
Шахматист-любитель придумал новую фигуру, передвигающуюся “ходом верблюда”: на три клетки прямо и одну в сторону. Можно ли обойти всю шахматную доску “ходом верблюда”, побывав в каждой клетке не менее одного раза?
-
Площадь треугольника ABC равна 7. Найдите площадь треугольника A1B1C1, если AC1=C1A1, BA1=A1B1 и CB1=B1C1.
-
В трапеции ABCD основание AB, диагональ AC и сторона AD равны 5. Найдите диагональ BD, если BC = 6.
- Найдите целые значения \(a\), при которых значение выражения \(\frac{a^3-8}{a+2}\) является целым числом.
-
Вычислите сумму \(1+4+7+\ldots+97+100\)
- Средний возраст одиннадцати футболистов равен 22 годам. Во время игры один из игроков получил травму и ушел с поля. Средний возраст оставшихся игроков стал 21 год. Сколько лет футболисту, ушедшему с поля?
- Дано несколько (не менее двух) ненулевых чисел. Вместо любых двух чисел \(a\) и \(b\) из этого набора записываются числа \(a+\frac{b}{2}\) и \(b-\frac{a}{2}\). Затем эта операция производится с двумя произвольными числами из получившегося набора и так далее. Можно ли после конечного числа таких операций получить исходный набор чисел?
- В треугольнике АВС точка А1 принадлежит отрезку ВС, а точка С1 – отрезку АВ. Может ли точка пересечения отрезков AA1 и CC1 быть серединой каждого из них?