Олимпиадные задачи по математике. Подборка задач для школьников
-
Докажите, что из любых семи натуральных чисел (не обязательно идущих подряд) можно выбрать три числа, сумма которых делится на три. Можно ли уменьшить количество чисел?
-
Десять друзей послали друг другу праздничные открытки, каждый послал по 5 открыток. Докажите, что найдутся двое, которые послали открытки друг другу.
- Длины сторон остроугольного треугольника – последовательные целые числа. Докажите, что высота, опущенная на среднюю по величине сторону, делит ее на отрезки, разность которых равна 4.
- Дано 1989 чисел. Известно, что сумма любых 10 из них положительна. Докажите, что сумма всех чисел тоже положительна.
- В ряд стоят 15 слонов, каждый из которых весит целое число килограмм. Если взять любого слона, кроме стоящего справа, и прибавить к его весу удвоенный вес его правого соседа, то получится 15 тонн (для каждого из 14 слонов). Найдите вес каждого из слонов.
- Одновременно из А и Б навстречу друг другу вышли Аня и Боря (их скорости постоянны, но не обязательно одинаковы). Если бы Аня вышла на 30 мин раньше, то они встретились бы на 2 км ближе к Б. Если бы Боря вышел на 30 мин раньше, то встреча состоялась бы ближе к А. На сколько километров?
- В клетках таблицы 4 х 4 записаны числа так, что сумма соседей у каждого числа равна 1 (соседними считаются клетки, имеющую общую сторону). Найдите сумму всех чисел таблицы.
- В параллелограмме ABCD точка М – середина стороны СD, точка Н – основание перпендикуляра, опущенного из вершины В на прямую АМ. Докажите, что треугольник ВСН равнобедренный.
- Дана таблица n x n, в каждой клетке записано число, причем все числа различны. В каждой строке отметили наименьшее число, и все отмеченные числа оказались в разных столбцах. Затем в каждом столбце отметили наименьшее число, и все отмеченные числа оказались в разных строках. Докажите, что оба раза отметили одни и те же числа.
- Петя перемножил первые n натуральных чисел, а Вася перемножил первые m четных натуральных чисел (n и m больше 1). В результате у них получилось одно и то же число. Докажите, что кто-то из них ошибся.