Олимпиадные задачи по математике. Подборка задач для школьников
- Есть две кучки камней, в одной из которых 15 камней, а в другой — 20. Двое играют в следующую игру: ходят по очереди, за один ход можно взять любое количество камней, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?
-
Двое по очереди ставят ладей на шахматную доску так, чтобы ладьи не били друг друга. Проигрывает тот, кому некуда ходить. Кто выигрывает при правильной игре?
- Докажите, что \(1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\) при натуральном \(n\).
- Докажите, что при любом натуральном \(n\) число \(3^{2n+2}+8n-9\) делится на 16.
- У трехзначного числа поменяли местами две последние цифры и сложили получившееся число с исходным. В результате получилось число 1187. Найдите все такие числа и объясните, почему нет других.
- Страницы книги пронумерованы подряд, от первой до последней. Хулиган Вася вырвал из разных мест книги 25 листов и сложил номера всех пятидесяти вырванных страниц. У него получилось число 1994. Когда об этом узнал Коля, он заявил, что при подсчете Вася ошибся. Объясните, почему Коля действительно прав.
- Числа \(a\) и \(b\) удовлетворяют равенству \(\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{a-b}=2\). Найдите все возможные значения выражения \(\frac{3a-b}{a+5b}\).
- Найдите все такие двузначные числа N, что сумма цифр числа N в 5 раз меньше самого числа N.
Объясните, как вы нашли эти числа. - Длины сторон треугольника ABC — последовательные целые числа, а медиана, проведенная из вершины А, перпендикулярна биссектрисе угла B. Найдите длины сторон треугольника ABC.
- Найдите все такие трехзначные числа N, что сумма цифр числа N в 11 раз меньше самого числа N.