Функциональные уравнения

1. Существует ли линейная функция \(y=f(x)\), удовлетворяющая при всех \(x\) соотношению \(2f(x+2)+f(4-x)=2x+5\)?
2. Найдите квадратичную функцию \(y=f(x)\), удовлетворяющую при всех \(x\) уравнению \(f(1-x)-f(2-x)=-2x+7\).
3. Существует ли квадратичная функция \(f(x+1)+f(2-x)=(x+1)^2\)?
4. Найдите все многочлены степени n, удовлетворяющие тождеству \(P(x^2) = (P(x))^2\) при \(x\in (-\infty; \infty)\).
5. Найдите функцию \(y=f(x)\), удовлетворяющую при всех \(x\ne 0\) соотношению \(f(x)+3xf(\frac{1}{x})=2x^2\).
6. Найдите значения \(x\), при которых функция \(f(x)\), удовлетворяющая при всех \(x\ne 0\) и \(x\ne 1\) уравнению \(f(x)+f(\frac{1}{1-x})=x\), имеет экстремумы. Найдите эту функцию.
7. Задана функция \(f(x)\), причем \(f(x+y)=f(x)+f(y)\) для всех рациональных чисел \(x\) и \(y\). Найдите \(f(-\frac{2}{7})\), если \(f(10)=-\pi\).
8. Задана функция \(f(x)\), причем \(f(x+y)=f(x)\cdot f(y)\) для всех рациональных чисел \(x\) и \(y\). Известно, что \(f(4)=16\). Найдите \(f(-\frac{3}{2})\).
9. Функция для любых действительных значений \(x\) и \(y\) удовлетворяет равенству \(f(x+y)=f(x)+f(y)+80xy\). Найдите \(f(\frac{4}{5})\), если \(f(\frac{1}{4})=2\).
10. Функция \(f(x)\) при каждом действительном \(x\) удовлетворяет равенству \(x+f(x)=f(f(x))\). Решите уравнение \(f(f(x))=0\).
11. Найдите все функции \(f(x)\), определенные на всей числовой прямой, для которых неравенство \(f(y)\cdot\cos (x-y)\leq f(x)\) выполнено при любых \(x\) и \(y\).

Ответы

1. \(f(x)=2x-11/3\)
2. \(f(x)=-x^2-4x+c\), c – произвольная константа
3. нет
4. \(P(x)=x^n\)
5. \(f(x)=(3-x^3)/(4x)\)
6. \(f(x)=\frac{x^3-x+1}{2x(x-1)}\)
7. \(\pi/35\)
8. \(\sqrt{2}/4\)
9. 24
10. 0
11. \(f(x)=c, c\geq 0\)