Вступительное испытание
по математике в МГУ 2018 года

Июль 2018 г

1. Какое из чисел \(\displaystyle\frac{49}{18}\) и \(\displaystyle\frac{79}{24}\) ближе к \(3\)?
2. Найдите все значения параметра \(a\), при которых разность между корнями уравнения \(x^2+3ax+a^4=0\) максимальна.
3. Решите уравнение \(\sin 4x\cdot\cos 10x=\sin x\cdot\cos 7x\)
4. Решите неравенство \((\sqrt{3}+\sqrt{2})^{\log_{\sqrt{3}-\sqrt{2}}x}\ge(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{\log_{x}(\sqrt{3}+\sqrt{2})}\)
5. Дана трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\). Пусть \(M\) – середина отрезка \(AD\), а \(N\) – произвольная точка отрезка \(BC\). Пусть \(K\) – пересечение отрезков \(CM\) и \(DN\), а \(L\) – пересечение отрезков \(MN\) и \(AC\). Найдите все возможные значения площади треугольника \(DMK\), если известно, что \(AD:BC=3:2\), а площадь треугольника \(ABL\) равна 4.
6. Найдите все значения параметра \(a\), при которых система \(\left\{\begin{array}{l l} ax^2+4ax-8y+6a+28\le0,\\ ay^2-6ay-8x+11a-12\le0\end{array}\right.\) имеет ровно одно решение.
7. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ с боковыми ребрами AA₁, BB₁, CC₁, DD₁. На ребрах AB, BC, CD, DA нижнего основания отмечены соответственно точки K, L, M, N таким образом, что AK:KB = 4:5, BL:LC = 3:1, CM:MD = 7:2, DN:NA = 3:1. Пусть P, Q, R – центры сфер, описанных около тетраэдров AKNA₁, BLKB₁, CMLC₁ соответственно. Найдите PQ, если QR = 1 и AB:BC = 3:2.
8. Найдите все пары чисел \(x,y\) из промежутка \((0,\pi/2)\), при которых достигается минимум выражения \((\frac{\sqrt{3}\sin y}{\sqrt{2}\sin(x+y)}+1)(\frac{\sqrt{2}\sin x}{3\sin y}+1)^2(\frac{\sin(x+y)}{7\sqrt{3}\sin x}+1)^4\)

Ответы

смотрите еще Вступительные экзамены и МГУ. Дополнительное вступительное испытание 2013