Вступительное испытание по математике в МГУ 2013 года

1. Старший коэффициент квадратного трехчлена \(f(x)\) равен 2. Один из его корней равен 5/2. Найдите второй корень, если известно, что \(f(0)=3\).
2. Вычислите \(\log_{12}3\cdot\log_912\)
3. Решите неравенство \(9(1+5^{1-2x})^{-1/2}-\frac{1}{2}(5^{2x}+5)^{1/2}\geq 6^{1/2}\cdot 5^{x/2}\)
4. Решите уравнение \(\frac{\sin 5x}{\sin x}-\frac{\cos 5x}{\cos x}=\frac{\sin x}{\sin 5x}-\frac{\cos x}{\cos 5x}\)
5. В 14:00 из села Верхнее вниз по течению реки в сторону села Нижнее отправился катер “Быстрый”. Когда до Нижнего оставалось плыть 500 метров, ему навстречу из Нижнего вышел катер “Смелый”. В этот же самый момент “Быстрый”, не желая встречи со “Смелым”, развернулся и пошел обратно к Верхнему. В 14:14, когда расстояние по реке от “Быстрого” до Верхнего сравнялось с расстоянием по реке от “Смелого” до “Быстрого”, на “Смелом” осознали, что они идут с “Быстрым” на одинаковой скорости, развернулись и направились обратно к Нижнему. В исходные пункты катера вернулись одновременно в 14:18. Найдите расстояние по реке между Верхним и Нижним, если известно, что оба катера движутся равномерно и с одинаковой собственной скоростью.
6. Трапеция ABCD вписана в окружность радиуса R и описана около окружности радиуса r. Найдите r, если R=12, а косинус угла между диагональю АС и основанием AD равен 3/4.
7. В основании прямой призмы ABCA₁B₁C₁ лежит прямоугольный треугольник АВС такой, что АС = ВС = 1. На ребре А₁В₁ верхнего основания (параллельном АВ) отмечена точка D так, что A₁D : DB₁ = 1 : 2. Найдите радиус сферы, вписанной в тетраэдр ABC₁D, если высота призмы равна 1.
8. Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \(\sin (x+\frac{a}{x})=x+1\) имеет бесконечно много решений.

Ответы

1. 3/5
2. 1/2
3. [0;1]
4. \(k\pi/8, n\pi/6, k,n\in Z, k\ne 4m, n\ne 3p, m,p\in Z \)
5. 2 км
6. 7
7. \((1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{2/3})^{-1}\)
8. \(a\ne 0\)

все вступительные в МГУ