Вступительное испытание по математике в МГУ (июль, 2012)

Вариант 124

1. Найдите многочлен второй степени, если известно, что его корни равны -5/7 и 9/4, а свободный член равен -5.
2. Вычислите \(\log_3\log_{64}\frac{716}{179}\)
3. Решите неравенство \((4^x-7\cdot 2^x+12)\cdot\sqrt{3^{x+1}-1}\leq 0\)
4. Решите уравнение \(\cos 3x=\cos x+\sqrt{3}\sin x\)
5. Найдите площадь фигуры, состоящей из точек (x; y) координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению \(|2y-x|+2|y+4|+|x|=8\).
6. Окружность касается сторон АВ и ВС треугольника АВС в точках К и L соответственно, и пересекает сторону АС в точках M, N (точка M лежит между точками A и N). Найдите радиус этой окружности, если известно, что AM = 1, NC = 3, AK:KB = 2:1, BL:LC = 1:4.
7. Определите, при каких значениях параметра \(a\) уравнение \(a\sqrt{x+y}=\sqrt{2x}+\sqrt{3y}\) имеет единственное решение (x; y).
8. В основании пирамиды лежит правильный треугольник ABC со стороной 5, боковые ребра AS, BS, CS пирамиды равны соответственно 7, 7 и 3. Прямой круговой цилиндр расположен так, что окружность его верхнего основания имеет ровно одну общую точку с каждой из боковых граней пирамиды, а окружность нижнего основания лежит в плоскости АВС и касается прямых АС и ВС. Найдите радиус основания цилиндра