Задачи для самостоятельного решения

1. Докажите, что для любого натурального $$n$$ справедливо равенство $$1^2+2^2+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$.
2. Докажите, что для любого натурального $$n$$ справедливо равенство $$\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\frac{n+1}{2n}$$.
3. Докажите, что если число $$x+\frac1{x} $$ – целое, то $$x^n+\frac{1}{x^n}$$ также является целым.
4. Докажите, что $$10^n+18n-1$$ делится на 27 для любого натурального $$n$$
5. Докажите, что $$11^{n+2}+12^{2n+1}$$ делится на 133 для любого натурального $$n$$.
6. Докажите, что $$\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\ldots\cdot\frac{2n}{2n+1}>\frac{1}{2n}$$ для любого натурального $$n$$.
7. Докажите, что $$\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n}}\geq\sqrt{n}$$ для любого натурального $$n$$.