Вариант вступительных экзаменов по математике в Московский технический университет связи и информатики
МТУСИ, 1997 г.
- Решите уравнение \(\sqrt{2-|3-x|}=2x-7\)
- Решите неравенство \(\log_2\log_{1/2}\frac{x+1}{x-3}\geq 1\)
- Докажите тождество \(\sin^2\alpha-\sin^2\beta=\sin(\alpha+\beta)\cdot\sin (\alpha-\beta)\)
- Найдите целочисленные решения системы уравнений \(\left\{\begin{array}{l l} \frac{1}{x^2+y^2}+2xy=\frac{21}{5},\\ \frac{1}{2xy}+x^2+y^2=\frac{21}{4} \end{array}\right.\).
- При каких \(a\) уравнение \(2^{4x}+a\cdot 2^{3x}-5\cdot 2^{2x}+a\cdot 2^{x}+1=0\) имеет единственное решение? Найдите это решение.
- Найдите расстояние между прямыми, заданными уравнениями \(y=2x+1\) и \(y=2x-4\).
- При каких положительных \(x\) числа \(arcctg(3+\cos x)\) и \(arctg(4-\cos x)\) являются величинами двух углов некоторого прямоугольного треугольника?
- Решите уравнение \(|x-|4-x||-2x=4\)
- Двум рабочим было поручено изготовить партию одинаковых деталей. После того, как первый проработал 2 ч, а второй 5 ч, оказалось, что они выполнили половину всей работы. Проработав совместно еще 3 часа, они установили, что им осталось выполнить 0,05 всей работы. За какой промежуток времени каждый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу?
- Решите неравенство \(|x-y|<2\) и дайте геометрическую интерпретацию.
Ответы
- 4
- [-7/3; -1)
- (2; 1), (1;2), (-2;-1), (-1;-2)
- a = 3/2; x=0
- \(\sqrt{5}\)
- \(\pi/3+2n\pi, 5\pi/3+2n\pi, n=0,1,2,\ldots\)
- 0
- 12 ч и 15 ч