Вариант вступительных экзаменов по математике в Московский государственный авиационный институт

МГАИ, 1997 г.

1. Решите уравнение \(\cos (x-\frac{\pi}{2})\sin\frac{\pi}{6}-\cos x\cos\frac{7\pi}{6}=0\)
2. Решите систему уравнений \(\left\{\begin{array}{l l} x^2+x+y=3,\\ \frac{y}{x}-x=0 \end{array}\right.\)
3. Площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды равна S, а угол между боковой гранью и плоскостью основания равен \(\alpha\). Найдите сторону основания.
4. Решите неравенство \(\frac{6}{|x-2|}\leq \frac{x-12}{x^2-4}+\frac{|x|}{x+2}\).
5. Найдите все значения \(a\), при которых среди решений неравенства \(((x-a)^2+y^2-4)(x^2+(y-a)^2-4)\leq 0\) есть хотя бы одна пара \((x; y)\), удовлетворяющая уравнению \(|x|+|y|=1\).
6. Все стороны четырехугольника ABCD различны по длине. Медианы треугольника ABC пересекаются в точке М, а N – середина отрезка, соединяющего середины сторон АВ и CD. Какие значения может принимать отношение DM : DN?

Ответы

1. \(2\pi/3+n\pi, n\in Z\)
2. (1; 1), (-1,5; 2,25)
3. \(\sqrt{2S\cos\alpha}/(\sqrt[4]{3}\cos\frac{\alpha}{2})\)
4. \((-2; 0]\cup [(7+\sqrt{145})/2; +\infty)\)
5. [-3; -1]U[1;3]
6. 4/3