Муниципальный этап, 2013-2014 гг.

5 класс

1. Найдите четырёхзначное число, у которого вторая цифра вдвое больше первой, третья — втрое меньше второй, а четвёртая — вчетверо больше третьей.
2. В 9.00 Юра вышел из дома и пошёл по прямой дороге со скоростью 6 км/ч. Через некоторое время он развернулся и с той же скоростью пошёл домой. В 12.00 Юре оставалось до дома два километра. На каком расстоянии от дома он развернулся? Объясните, как был найден ответ.
3. Встретились три пятиклассника — Миша, Коля и Толя. Каждый из них либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Миша сказал: «Все мы — лжецы». Коля сказал: «Среди нас ровно два лжеца». Толя промолчал. Кто из них лжец, а кто — нет? Объясните, как Вы рассуждали.
4. Можно ли выложить в ряд 30 шариков — белых, синих и красных — так, чтобы среди любых двух идущих подряд шариков был хотя бы один белый, среди любых трёх идущих подряд — хотя бы один синий, а среди любых пяти идущих подряд — хотя бы один красный? Ответ объясните.

6 класс

1. В 9.00 Юра вышел из дома и пошёл по прямой дороге со скоростью 6 км/ч. Через некоторое время он развернулся и с той же скоростью пошёл домой. В 12.00 Юре оставалось до дома два километра. На каком расстоянии от дома он развернулся? Объясните, как был найден ответ.
2. В магазине продают металлические буквы (одинаковые буквы стоят одинаково, а разные, возможно, по-разному; цены не обязательно равны целому числу рублей). Слово ВОЛ обойдётся в 15 рублей, ОЛОВО — в 23 рубля, СТОК— в 20 рублей. Сколько стоит слово ОТКОС? Ответ объясните.
3. В Простоквашинской сельской библиотеке в 34,56 раза больше книг, чем на книжной полке у Дяди Фёдора. Докажите, что в этой библиотеке больше 800 книг.
4. Можно ли выложить в ряд 20 шариков — белых, синих и красных — так, чтобы среди любых двух идущих подряд шариков был хотя бы один белый, среди любых трёх идущих подряд — хотя бы один синий, а среди любых девяти идущих подряд — хотя бы один красный?

7 класс

1.  У Федота был капитал. Когда мама дала Федоту 49 рублей, его капитал вырос в 99 раз. Сколь велик был этот капитал вначале?
2.  Как провести через одну точку четыре прямые, чтобы среди углов между ними нашлись углы величиной 10°, 20°, 30°, 40° 50° и 60° ? На чертеже укажите величины углов.
3. Коля, Вася и Петя пошли за покупками. Всего у них с собой 2200 рублей, и ни у кого нет монет мельче рубля. У Коли с собой в 18 раз меньше денег, чем у Васи. Докажите, что Петя сможет купить мороженое за 15 рублей.
4.  20 человек выстроены в пять шеренг по четыре человека в каждой . Каждый из них либо рыцарь, всегда говорящий правду, либо лжец, который всегда лжёт, и всем им известно, кто из них рыцарь, а кто — лжец . Журналист спросил у каждого из них: «Верно ли, что в каждой шеренге стоит хотя бы один лжец?». Могло ли случиться, что трое ответили «нет», а остальные — «да»?
5. Миша и Маша ехали на поезде в Киров. Миша лежал на полке, а Маша смотрела в окно. «Далеко ли до Кирова?» — спросил Миша у Маши в 12.00. «73 километра», — ответила Маша. На тот же вопрос, заданный в 12.15 и 12.45, Маша ответила: «62 километра» и «37 километров». Известно, что Маша, если расстояние составляло не целое число километров, каждый раз округляла его до ближайшего целого числа (а если таких было два — то до любого из них по своему выбору). Найдите скорость поезда, если известно, что она была постоянной. Укажите все возможности и докажите, что других нет.

8 класс

1. Трёхзначное число в 56 раз больше своей последней цифры. Во сколько раз оно больше своей первой цифры?
2.  В магазине продают металлические буквы (одинаковые буквы стоят одинаково, а разные, возможно, по-разному; цены не обязательно равны целому числу рублей). Слово КОТ обойдётся в 15 рублей, РОТ— в 17 рублей, АУ— в 12 рублей, РУКА — в 21 рубль. Сколько стоит слово УРА?
3. Существует ли такое пятизначное число, что среди любых трёх его идущих подряд цифр есть хотя бы две единицы, а среди любых четырёх идущих подряд — хотя бы две двойки? Если да — приведите пример. Если нет — объясните, почему.
4.  На гипотенузе АС прямоугольного треугольника АВС отмечены такие точки и Е, что АD = АВ и СЕ = СВ. Из точки D опущен перпендикуляр DF на прямую ВF. Докажите, что DF = ВF.
5. Двое играют в игру. Вначале у них есть квадратный лист бумаги со стороной 4. Игроки ходят по очереди. Каждым ходом игрок разрезает имеющийся прямоугольник на два, один из которых имеет площадь 1, и выбрасывает прямоугольник единичной площади. Проигрывает тот, после хода которого у оставшегося прямоугольника впервые появляется сторона длиной не больше 1. Кто победит при правильной игре обоих игроков: тот, кто ходит первым или его партнёр, — и как ему для этого надо играть?

9 класс

1. Найдите произведение (sin 0° – соs 0°)(sin 1° – соs 1 °)…(sin 89° – соs 89°)(sin 90° – соs 90°).
2. На координатной плоскости даны точки А(0,0), В(1,2), С(4,2). Докажите, что прямая у = х делит угол ВАС на два равных угла.
3. Даны три различных натуральных числа k, m и n. Докажите, что числа $$2^k$$ , $$2^m$$, $$2^n$$ можно вписать вместо многоточий в равенство $$…x^2+…x+… = 0$$ таким образом, чтобы у получившегося квадратного уравнения были два различных корня.
4. Можно ли покрасить каждую точку плоскости в красный или синий цвет таким образом, чтобы на каждой окружности радиуса 1, находящейся в этой плоскости, лежало ровно сто синих точек?
5. Двое играют в игру. Вначале у них есть квадратный лист бумаги со стороной 2013. Игроки ходят по очереди. Каждым ходом игрок разрезает имеющийся прямоугольник на два, один из которых имеет площадь 1, и выбрасывает прямоугольник единичной площади. Проигрывает тот, после хода которого у оставшегося прямоугольника впервые появляется сторона длиной не больше 1. Кто победит при правильной игре: тот, кто ходит первым, или его партнёр, — и как ему для этого надо играть?

10 класс

1. Даны три различных натуральных числа k, m и n. Докажите, что числа $$2^k$$ , $$2^m$$, $$2^n$$ можно вписать вместо многоточий в равенство $$…x^2+…x+… = 0$$ таким образом, чтобы у получившегося квадратного уравнения были два различных корня.
2. Пусть М — точка пересечения медиан треугольника АВС. Известно, что вписанные в треугольники АВМ, ВСМ и САМ окружности равны и попарно касаются друг друга. Докажите, что треугольник АВС —равносторонний.
3. На каждой грани куба поставлено натуральное число. В каждой вершине этого куба поставлено произведение чисел на примыкающих к этой вершине гранях. Сумма всех чисел в вершинах оказалась равна 2013. Чему может быть равна сумма всех чисел на гранях (укажите все возможности)?
4. Двое играют в игру. Вначале у них есть прямоугольный лист бумаги размером m х n, где m и n — натуральные числа, большие 1. Игроки ходят по очереди. Каждым ходом игрок разрезает имеющийся прямоугольник на два, один из которых имеет площадь 1, и выбрасывает прямоугольник единичной площади. Проигрывает тот, после хода которого у оставшегося прямоугольника есть сторона длины строго меньше 1 или остался квадрат 1×1. Кто победит при правильной игре: тот, кто ходит первым, или его партнёр, — и как ему для этого надо играть?

11 класс

1.  Какое наибольшее количество различных не равных 0 цифр можно выписать в ряд так, чтобы из любых двух стоящих рядом цифр одна делилась на другую?
2. Найдутся ли такие три вещественных числа, что если их поставить в одном порядке в качестве коэффициентов квадратного трёхчлена, то он будет иметь два положительных корня, а если в другом – два отрицательных?
3. Может ли развёртка треугольной пирамиды быть пятиугольником?
4. Существует ли такой выпуклый пятиугольник, что для любой его вершины две проведённые из неё диагонали делят его на три треугольника равной площади?
5. Двое играют в игру. Вначале у них есть прямоугольный лист бумаги размером m х n, где m и n — натуральные числа, большие 1. Игроки ходят по очереди. Каждым ходом игрок разрезает имеющийся прямоугольник на два, один из которых имеет площадь 1, и выбрасывает прямоугольник единичной площади. Проигрывает тот, после хода которого у оставшегося прямоугольника есть сторона длины строго меньше 1. Если же остался квадрат 1×1, проигрывает тот, кто должен делать ход. Кто победит при правильной игре: тот, кто ходит первым, или его партнёр, — и как ему для этого надо играть?