Муниципальный этап, 2013-2014 гг.
8 класс
- Докажите, что если $$x$$ и $$y$$ положительные числа, то хотя бы одно из чисел $$x$$, $$y$$ и $$\frac{1}{x+y}$$ больше числа 0,7.
- Петя рисует прямоугольные треугольники так, чтобы их площади выражались целыми числами, а длины катетов были не меньше 90, но и не больше 100. Он нарисовал 952 треугольника. Докажите, что среди Петиных треугольников есть равновеликие (т. е. с равными площадями).
- окажите, что если натуральные числа $$m$$ и $$n$$ взаимно просты (т.е. не имеют общего делителя > 1), то число $$m\cdot n$$ не делится на число$$m+n$$.
- Диагонали АС и ВD выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке О и взаимно перпендикулярны. На луче DА взята точка E такая, что AE=AB, и точка А лежит между точками D и E. Пусть M середина отрезка BE. Докажите, что угол ВАМ равен углу BOM.
- На смотре войска Острова Лжецов и Рыцарей (лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят правду) вождь построил всех воинов в шеренгу. Каждый из воинов, стоящих в шеренге сказал: «Мои соседи по шеренге – лжецы» (воины, стоящие в концах шеренги, сказали: «Мой сосед по шеренге – лжец»). Какое наибольшее число лжецов могло оказаться в шеренге, если на смотр вышли 1000 воинов.
9 класс
- Докажите, что если $$а$$ и $$b$$ положительные числа, то хотя бы одно из чисел $$a$$, $$b$$ и $$\frac{1}{a+b}$$ больше числа $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$.
- Вася рисует прямоугольные треугольники, площади которых являются целыми числами, а длина гипотенузы не превосходит 50. Он нарисовал 626 треугольников. Докажите, что среди Васиных треугольников есть равновеликие (т. е. с равными площадями).
- В треугольнике ABC провели серединный перпендикуляр к стороне AB, Он пересекается со стороной BC в точке P. Найдите угол ВАС, если АС=1, BP=2 и угол РАС равен 60 градусам.
- Докажите, что если $$x_0$$ – корень уравнения $$x^4+ax^3+a^3=0$$, то $$x_0^2 \geq 4a$$.
- Натуральные числа m и n взаимно просты (т.е. не имеют общего делителя > 1). Докажите, что если число $$m^2+n^2$$ делится на число $$m+n$$, то $$m=n=1$$.
10 класс
- Докажите, что если x и у положительные числа, то хотя бы одно из чисел x, у и $$\frac{1}{x^2+y^2}$$ больше числа 0,75.
- Числа а, b, c отличны от нуля, причём а и с числа одного знака. Докажите, что хотя бы одно из уравнений $$ax^2+bx+c=0$$ и $$ \frac{x^2}{a} + \frac{x}{b} + \frac{1}{c}=0$$ не имеет корней.
- На плоскости каким-то образом расположены непересекающиеся квадратики: 99 квадратиков со стороной равной 1; 77 квадратиков со стороной равной 2; 55 квадратиков со стороной равной 3. Докажите, что, как бы не размещать на плоскости квадрат со стороной равной 30, он не накроет все квадратики целиком.
- Стороны выпуклого пятиугольника последовательно равны 4, 6, 8, 7 и 9. Докажите, что в этот пятиугольник нельзя вписать окружность.
- Наибольший общий делитель натуральных чисел m и n равен 1. Известно, что число $$m^2+n^3$$ делится на число $$m+n^2$$. Докажите, что $$m=n=1$$.
11 класс
- f(x) – квадратный трёхчлен. Известно, что уравнение f(2x) = f(x), кроме корня x1=0, имеет ещё корень x2=1. Найдите абсциссу вершины параболы у= f(x).
- ABC – прямоугольный треугольник с катетами CA=4, СВ=3. Точка P находится на гипотенузе AB, причём угол BCP равен 60 градусам. Найдите длину отрезка CP.
- Докажите, что хотя бы одно из чисел $$\sin x$$ и $$\sin 2x$$ меньше 0,9.
- На ЕГЭ по математике 333 ученика допустили в общей сложности 1000 ошибок. Докажите, что при этом учеников, сделавших более чем 5 ошибок, оказалось не больше, чем учеников, сделавших менее чем по 4 ошибки.
- Могут ли среди корней кубического уравнения вида $$x^3-2013x+q=0$$ оказаться два различных целых числа?