Варианты вступительных экзаменов в МФТИ 2007 г. по математике

Вариант 1

1. Решите уравнение $$\log_{11-x^2}(2^x-6+3\cdot 2^{2-x})=\log_{x-1}(2^x-6+3\cdot 2^{2-x})$$.
2. Решите уравнение $$\sin 2x=2\sin^3|x|+\sin 2x\cos x$$.
3. Решите неравенство $$\sqrt{\displaystyle\frac{3-2x}{1+2x}}+\displaystyle\frac{\sqrt{1+2x}}{2\sqrt{3-2x}-\sqrt{2}}\geq 0$$.
4. Окружности $$\omega_1$$ и $$\omega_2$$ лежат внутри треугольника ABC, в котором AB = BC = a = 6, AC = 2, а радиус $$\omega_1$$ в два раза больше радиуса $$\omega_2$$. Окружности $$\omega_1$$ и $$\omega_2$$ касаются внешним образом, причем $$\omega_1$$ касается сторон AB и AC, а $$\omega_2$$ – сторон BC и AC треугольника ABC. Найдите радиус окружности $$\omega_1$$, если a = 6. Найдите все значения a, при которых существуют указанные окружности.
5. Найдите все значения параметра $$a$$, при которых наибольшее значение величины $$x^2+y$$ на множестве пар действительных чисел $$(x; y)$$, удовлетворяющих одновременно двум неравенствам $$y\leq\sqrt{1-x^2}$$ и $$y+|x-a|\leq 1$$, будет максимально возможным. Найдите это максимально возможное значение.
6. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ четыре числа – длины ребер и диагонали АС₁ – образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью d, причем AA₁<AB<BC. Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного радиуса R расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда, причем первая сфера касается граней ABB₁A₁, ADD₁A₁, ABCD, а вторая – граней BCC₁B₁, CDD₁C₁, A₁B₁C₁D₁. Найдите: а) длины ребер параллелепипеда; б) угол между прямыми CD₁ и AC₁; в) радиус R.

Вариант 5

1. Решите уравнение $$2\log_3(x^2-4)+3\sqrt{\log_3(x+2)^2}-\log_3(x-2)^2=4$$.
2. Решите уравнение $$\displaystyle\frac{\cos 9x-2\cos 6x+1}{\cos 3x-1}=|\cos 3x|$$.
3. Решите неравенство $$\displaystyle\frac{(\sqrt{x+3}+x-3)(\sqrt{4x+5}+x-4)}{\sqrt{4+4x-x^2-x^3}}\leq 0$$.
4. Окружность $$\omega$$ с центром в точке O на стороне АС треугольника АВС касается сторон АВ и ВС в точках D и E соответственно. Известно, что AD = 2CE, а угол DOE равен arctg (1/3). Найдите углы треугольника ABC и отношение его площади к площади круга, ограниченного окружностью $$\omega$$.
5. Найдите все значения параметра $$a$$, при которых существует ровно две пары действительных чисел $$(x; y)$$, удовлетворяющих системе уравнений \(\left\{\begin{array}{l l} (x+y^2-1)(y-\sqrt{6}|x|)=0,\\2ay+x=1+a^2.\end{array}\right.\)
6. Внутри прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ расположены два шара $$\omega_1$$ и $$\omega_2$$, касающиеся друг друга внешним образом. Кроме того, шар $$\omega_1$$ касается граней ABCD, ABB₁A₁, ADD₁A₁, а шар $$\omega_2$$ касается граней A₁B₁C₁D₁, BCC₁B₁, CDD₁C₁. Известно, что AB = $$6-\sqrt{2}$$, A₁D₁ = $$6+\sqrt{2}$$, CC₁ = 6. Найдите расстояние между центрами шаров. Найдите наибольший и наименьший суммарный объем шаров.

Ответы

Вариант 1

1. $$\log_23; 3$$
2. $$\pi n, n \in Z; 2\pi/3+2\pi n, n \in Z, n\leq -1$$
3. (-1/2; 5/4)
4. $$20/(3\sqrt{35}+10\sqrt{2}); a\geq 9/7$$
5. $$(\sqrt{3}-1)/2\leq |a|\leq (\sqrt{3}+1)/2; 5/4$$
6. а) $$AA_1=d\sqrt{2}; AB=d(\sqrt{2}+1)$$; б) $$arccos\frac{1+2\sqrt{2}}{\sqrt{79+52\sqrt{2}}}$$; в) $$R=d(3+3\sqrt{2}-\sqrt{5+6\sqrt{2}})/4$$.

Вариант 5

1. $$-2-\sqrt{3}$$
2. $$\pi/3+2\pi n/3, n \in Z$$
3. 1
4. $$\pi-arctg 3; \pi/4; arctg (1/2)$$
5. $$\sqrt{2/3}, \sqrt{3/2}, -1/(2\sqrt{6})<a\leq 1/(2\sqrt{6})$$
6. $$d=4; V_{min}=64\pi/3; V_{max}=(136/3-16\sqrt{2})\pi$$