Варианты вступительных экзаменов по математике в МГУ на геологический факультет. 

Геологический факультет МГУ, 2000 г.

1. Решите неравенство $$\log_{\sqrt{5}}(3x+4)\leq 4$$.
2. Вычислите $$tg8x$$, если $$tg2x=\frac{1}{4}$$.
3. Из пункта A в пункт В выехал автомобилист и велосипедист, причем скорость автомобиля в 4 раза больше скорости велосипедиста. Известно, что они ехали с постоянными скоростями, но автомобилист сделал несколько остановок. Сколько времени автомобилист затратил на все остановки, если он доехал до пункта B за 3 часа, а велосипедист за 5 часов?
4. Решите неравенство $$16\sin^2 x +ctg^2 x\leq 7$$.
5. Решите систему уравнений \(\left\{\begin{array}{l l} x+y+3\sqrt{x+y}=18,\\x^2+y^2=125.\end{array}\right.\)
6. В трапецию с верхним основанием 5 см и боковой стороной 6 см можно вписать окружность и около нее можно описать другую окружность. Вычислите площадь пятиугольника, образованного радиусами вписанной окружности, перпендикулярными боковым сторонам трапеции, ее нижним основанием и соответствующими отрезками боковых сторон.
7. Решите уравнение $$3-x^2+2x=\sqrt{1-x^2}\cdot (2x^2+4x+3)$$.
8. В прямоугольном параллелепипеде, стороны основания которого равны $$a$$ и $$b$$, а высота – $$a$$,  расположены 9 шаров. Восемь из них одинакового радиуса, причем каждый касается трех граней параллелепипеда и двух соседних шаров. Девятый шар внешним образом касается всех восьми вышеуказанных шаров. Найти $$R$$ – радиус девятого шара. Установить, при каких значениях величины $$\frac{b}{a}$$ задача имеет решение, если $$r\leq\frac{a}{3}$$.

Геологический факультет МГУ, 2001 г.

1. Решите неравенство $$\displaystyle\frac{\frac{1}{x-1}-1}{1-\frac{1}{x-7}}\geq 0$$.
2. Найдите неотрицательные решения уравнения $$1+\sin 7x=(\cos\frac{3x}{2}-\sin\frac{3x}{2})^2$$.
3. Решите уравнение $$(\frac{5}{7})^{x-2}\cdot (\frac{7}{5})^{\frac{1}{x-1}}=\frac{125}{343}$$.
4. Прямая, проходящая через вершину основания равнобедренного треугольника, делит его площадь пополам, а периметр треугольника делит на части 5 м и 7 м. Найдите площадь треугольника и укажите, где лежит центр описанной окружности: внутри или вне треугольника?
5. Решите систему уравнений \(\left\{\begin{array}{l l} \frac{xy}{2}+\frac{5}{2x+y-xy}=5,\\2x+y+\frac{10}{xy}=4+xy.\end{array}\right.\)
6. Пункты A и В расположены на двух различных дорогах, представляющих собой две взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в пункте C. Два мотоциклиста одновременно начинают движение: первый из пункта А по направлению к С, а второй из В по направлению к С. Через какое время после начала движения расстояние между мотоциклистами будет наименьшим и каким, если скорость первого мотоциклиста равна 44 км/ч, а второго – 33 км/ч, а каждое из расстояний от пункта А до С и от пункта В до С равно 275 км?
7. Сфера с диаметром AD = $$\sqrt{3}$$ касается плоскости треугольника ABC в точке A. Отрезки BD и CD пересекают сферу в точках M и N соответственно. Найдите длину отрезка MN, если AB = 3, AC = $$3\sqrt{5}$$, а угол BDC равен $$\frac{\pi}{3}$$.
8. При каких значениях параметра $$a\geq 1$$ уравнение $$\sin\frac{4x}{13}\cdot tg x=0$$ имеет ровно шесть различных корней на отрезке $$[2a\pi;(a^2+1)\pi]$$? Укажите эти корни.

Ответы:

2000 г

1. (-4/3; 7]
2. 240/161
3. 7/4 ч
4. $$+-\frac{\pi}{6}+\pi k, k\in Z$$
5. (11;-2), (-2;11)
6. $$7\sqrt{35}/2$$
7. 0; -1; $$+-\sqrt{3}/2$$
8. $$\sqrt{3a^2/4-ab+b^2}/2-a/4$$, решение есть при $$1<b/a\leq 1/2+\sqrt{31}/6$$

2001 г

1. (1;2] и (7;8)
2. $$\pi n/5, \pi/4+\pi k/2, n,k \in Z, n,k \geq 0$$
3. $$3+-\sqrt{5}$$
4. если центр вне треугольника, то 16/3 м² , если внутри, то $$8\sqrt{5}/3$$
5. (1; 5), (5/2; 2)
6. 7 ч, 55 км
7. 3/4
8. при а=3 или $$\sqrt{10}\leq a<\sqrt{11}$$