Варианты вступительных экзаменов в МФТИ 2008 г. по математике

Вариант 1

1. Решите неравенство  $$\sqrt{\frac{1}{x^2+2x-3}}\geq\frac{1}{4-x}$$.
2. Решите уравнение $$\frac{4\cos^2 2x \cos 4x+3\cos 2x+\cos 6x}{\cos 3x}=0$$.
3. Найдите действительные решения системы уравнений \(\left\{\begin{array}{l l} 2y^2=x^4+x,\\y=\frac{2x}{y}-5x^2\end{array}\right.\)
4. Параллелограмм ABCD имеет площадь 4. Окружность с центром в точке О, расположенной на отрезке AD, касается отрезков AB, BC и прямой CD в точках M, N и K соответственно. Найти радиус этой окружности и стороны параллелограмма ABCD, если CK:BM=3:1.
5. Найти все пары действительных чисел $$(x;y)$$, удовлетворяющие неравенству $$\log_{\displaystyle3^x+\displaystyle2^{-x}}(3-\cos 4x+\sin\frac{3y}{2})\leq\log_{\displaystyle|\cos\frac{y}{3}|+\displaystyle|\sin\frac{y}{3}|}(|\sin 3x\cos 2y|)$$.
6. На основании ABCD четырехугольной пирамиды SABCD расположена точка O. Сфера с центром в точке О касается прямых SA, SB, SC, SD в точках A, B, K, L соответственно. Известно, что AB = KL = $$2\sqrt{5}$$, AL  = 2, BK = 6, а отрезок SO составляет с плоскостью ABCD угол arccos$$\frac{2}{3}$$. Найти длины отрезков AK, OS и SD.

Вариант 5

1. Решите неравенство $$\log_{\displaystyle\frac{2-x}{1-x}}(4-x)\leq 2$$.
2. Решите уравнение $$\displaystyle\frac{\sin^3 x\cos 3x+\cos^3 x\sin 3x}{|\sin 2x|}=\frac{3}{4}$$.
3. Решите систему уравнений \(\left\{\begin{array}{l l} x+\displaystyle\sqrt{\frac{x}{x+y}}=\frac{42}{x+y},\\xy-x=16\end{array}\right.\)
4. В треугольнике ABC медиана BM равна 2, угол ABM равен $$\arctan \frac{2}{3}$$,  угол CBM равен $$\arctan\frac{1}{5}$$. Найти стороны AB, BC и биссектрису BE треугольника ABC.
5. Решите систему уравнений \(\left\{\begin{array}{l l} x+y^4-2y^2=\ln x,\\2\arctan x+arcsin y=0\end{array}\right.\)
6. В основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD. Сфера $$\omega$$ радиуса $$\frac{15}{14}$$ с центром O касается ребер AS, BS, AD, BC пирамиды SABCD соответственно в точках K, L, M, N, пересекает ребро AB в точках P и Q и касается грани CDS. Известно, что прямая SO перпендикулярна плоскости ABCD и пересекает ее в точке H,  AB:PQ = 4:$$\sqrt{7}$$, AS:LS=3:2. Найти угол SAB, угол SBH, высоту пирамиды и ее объем.

Ответы:

Вариант 1

1. $$x<-3, 1<x\leq\frac{19}{10},x>4$$
2. $$\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},k\in Z$$
3. $$(-3^{2/3}/7^{1/3};-3^{1/3}/7^{2/3}),(1/7^{1/3};2/7^{2/3})$$
4. $$R=\sqrt[4]{3},AB=2/\sqrt[4]{3},AD=4/\sqrt[4]{3}$$
5. $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k, y=\pi+12\pi s$$ или $$y=5\pi+12\pi s, k\in Z,s\in Z$$
6. $$AK=4\sqrt{2},OS=7,SD=35^{3/2}/27$$

Вариант 5

1. $$0\leq x<1,2<x<\frac{5+\sqrt{5}}{2}$$
2. $$\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{2},k \in Z$$
3. $$(4;5),(-(1+\sqrt{133})/2; (41-8\sqrt{133})/33)$$
4. $$AB=4/\sqrt{13}, BC=8\sqrt{2}/\sqrt{13},BE=8\sqrt{20+2\sqrt{2}}/(7\sqrt{13})$$
5. (1;-1)
6. arccos(4/9), arccos(5/9), h=2, V=64/21