Варианты вступительных экзаменов по математике в МГУ на географический факультет. 

Географический факультет МГУ, 2002 г.

1. Решите уравнение $$|2x-1|=\frac{4}{2x-1}$$.
2. Решите уравнение $$\frac{6\cos x – 2}{6\cos^2 x-11\cos x+3}=-1$$.
3. Квадратное уравнение $$x^2-6px-2q=0$$ имеет два различных корня $$x_1$$ и $$x_2$$. Числа $$p$$, $$x_1$$, $$x_2$$, $$q$$ – четыре последовательных члена геометрической прогрессии. Найдите $$x_1$$ и $$x_2$$.
4. Тележка с передними колесами диаметром 40 см и задними колесами диаметром 50 см движется по прямой дороге, проходящей через точки А и В. Между точками А и В ровно 100 метров. Точка А покрашена. Через точку А проезжают правые колеса тележки и в точках соприкосновения с ней красятся. В свою очередь, при каждом соприкосновении с дорогой точки оставляют свой след в виде точек на дороге. Никакие точки на дороге, кроме точки А, колеса не окрашивают. Тележка движется по направлению от точки А в сторону точки B. Найдите: а) наименьшее расстояние между соседними окрашенными точками; б) количество окрашенных точек на отрезке AB.
5. В треугольнике KLM проведена медиана LN. Известно, что угол KLM равен углу LNM, KM = 10. Найдите: а) сторону LM; б) угол LMK, если расстояние от точки M до центра описанной около треугольника KLN окружности равно 10.
6. Решите систему \(\left\{\begin{array}{l l} x^3=4x+y,\\y^3=4y+x\end{array}\right.\).

Географический факультет МГУ, 2003 г.

1. Разность девятого и третьего членов знакочередующейся геометрической прогрессии равна ее шестому члену, умноженному на 24/5. Найдите отношение десятого к пятому члену прогрессии.
2. Решите неравенство $$\frac{6}{|x|}\geq 7+x$$.
3. Непустое множество Х состоит из конечного числа N натуральных чисел. Четных чисел в Х меньше двух третей от N, а нечетных не больше 36% от N. Какое минимальное значение может принимать число N?
4. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника ABCD, перпендикулярны. Известно, что АС = 4, сумма углов CAB и DBA равна 75^о. Найдите площадь четырехугольника ABCD и сравните ее с числом $$2\sqrt{15}$$.
5. При каких значениях параметра $$a$$ уравнение $$(\sin x-\log_4{a})(\sin x-2+2a)=0$$ имеет ровно два корня на отрезке $$[\pi /2; 5\pi /2]$$?

Ответы

2002 г

1. 3/2
2. $$\pm\pi /3+2\pi n, n \in Z$$
3. (6; -18), (-4; -8)
4. a) $$10\pi$$; б) 128
5. а)$$5\sqrt{2}$$; б) $$\pi/4\pm arcsin(\sqrt{7}/4)$$
6. $$(0;0), (\pm \sqrt{5};\pm \sqrt{5}), (\pm\sqrt{3}; \mp\sqrt{3})$$, $$((\sqrt{6}+\sqrt{2})/2; (-\sqrt{6}+\sqrt{2})/2), ((-\sqrt{6}-\sqrt{2})/2;(\sqrt{6}-\sqrt{2})/2),$$ $$((\sqrt{6}-\sqrt{2})/2; (-\sqrt{6}-\sqrt{2})/2), ((-\sqrt{6}+\sqrt{2})/2;(\sqrt{6}+\sqrt{2})/2)$$

2003 г

1. $$-5^{-5/3}$$
2. $$x\leq 6, -1\leq x<0, 0<x\leq (\sqrt{73}-7)/2$$
3. 14
4. $$2\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)$$; меньше, чем $$2\sqrt{15}$$
5. $$1/4<a<1/2, a=1, 3/2<a\leq 4$$