Варианты вступительных экзаменов по математике в МГУ на филологический факультет. 

Филологический факультет МГУ, 2003 г.

1. Решите уравнение $$\cos 4x=\cos^4 x-\sin^4 x$$.
2. Решите систему уравнений \(\left\{\begin{array}{l l} \cos y\cdot 3^{x^3+8}=27^{x^2+2x}\cdot |\cos y|,\\x^3-(a+3)x^2+3ax\leq 0\end{array}\right.\)
3. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) медианы AM и CN пересекаются в точке D под прямым углом. Найдите все углы треугольника ABC и площадь четырехугольника NBMD, если основание AC = 1.
4. В двух группах учится одинаковое количество студентов. Каждый студент изучает по крайней мере один язык: английский или французский. Известно, что 5 человек в первой и 5 во второй группе изучают оба языка. Количество изучающих французский  в первой группе в 3 раза меньше, чем во второй. Количество изучающих английский во второй группе в 4 раза меньше, чем в первой. Каково минимально возможное количество студентов в одной группе?
5. Найдите все значения параметра $$b$$, при каждом из которых для любого $$a$$ неравенство $$(x-a-2b)^2+(y-3a-b)^2<1/2$$ имеет хотя бы одно целочисленное решение $$(x; y)$$.

Филологический факультет МГУ, 2004 г.

1. При каких значениях параметра $$a$$ уравнение $$x^2-x+\frac{3-a}{2a+1}=0$$ не имеет решений?
2. Решите уравнение $$2\sin^2 4x-5\sin (\frac{\pi}{2}-4x)+1=0$$.
3. Решите уравнение $$(x-3)(x^2+2)=12-3^{x-1}-\frac{1}{3}\cdot (\sqrt{3})^{x+1}$$.
4. Из точки M на плоскость $$\alpha$$ опущен перпендикуляр MH длины 3 и проведены две наклонные, составляющие с перпендикуляром углы по 30^о . Угол между наклонными равен 60^о. а) Найдите расстояние между основаниями A и B наклонных. б) На отрезке AB как на катете в плоскости $$\alpha$$ построен прямоугольный треугольник ABC (угол А – прямой). Найдите объем пирамиды MABC, зная, что косинус угла BCM равен 3/4.
5. Бюро переводов получило заказ на перевод трех текстов одинакового объема. Переводчица Сидорова на перевод первого и второго текстов в сумме потратила 1 час 21 минуту, а на перевод первого и третьего – 1 час 18 минут. Оказалось также, что второй текст она переводила с такой же скоростью, как в среднем первый и третий. За какое время был выполнен весь перевод?
6. Дана система уравнений \(\left\{\begin{array}{l l} y=a|x-2a|,\\|x|=b+|y| \end{array}\right.\) а) При каких значениях параметров $$a$$ и $$b$$ эта система относительно неизвестных $$x$$ и $$y$$ имеет бесконечно много решений? б) На плоскости $$(x; y)$$ изобразите множество точек, координаты которых таковы, что система относительно неизвестных $$a$$ и $$b$$ имеет ровно три решения.

Ответы

2003 г

1. $$\pi n/3, n \in Z$$
2. $$x=1, y=2\pi k; x=1/4, y=-\pi/2+2\pi m; x=4, y=\pi/2+2\pi n, k,m,n \in Z$$
3. $$\angle A = \angle C = arctg 3, \angle B = \pi -2arctg 3; 1/4$$
4. 28
5. $$b \ne k/5, k \in Z$$

2004 г

1. (-1/2; 11/6)
2. $$\pm\pi/12+\pi n/2, n \in Z$$
3. 3
4. а)$$2\sqrt{3}$$; б) 6
5. 1 ч 57 м
6. а) $$(\pm 1; \pm 2)$$; б) $$0<y<x^2/8$$ при $$x>0$$ и $$-x^2/8<y<0$$ при $$x<0$$.