Тренировочная работа МИОО

18 декабря 2015 г

Условия задач, ответы и решения

(в процессе…)

Инструкция по выполнению работы
На выполнение работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут). Работа состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий.
Часть 1 содержит 8 заданий базового уровня сложности с кратким ответом. Часть 2 содержит 4 задания повышенного уровня сложности с кратким ответом и 7 заданий повышенного и высокого уровней сложности с развёрнутым ответом.
Ответы к заданиям 1–12 записываются в виде целого числа или конечной десятичной дроби.
При выполнении заданий 13–19 требуется записать полное решение на отдельном листе бумаги.
При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике не учитываются при оценивании работы.
Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются.
Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.
Желаем успеха!

9. Найдите значение выражения \((9axy-(-6xya)):3yax\) Решение

10. При движении ракеты её видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, вычисляется по закону \(l=l_o\cdot\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\), где  \(l_o=95\) м — длина покоящейся ракеты, \(c=3\cdot 10^5\) км/с — скорость света, а \(v\) — скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть скорость ракеты, чтобы её наблюдаемая длина стала равна 57 м? Ответ выразите в км/с. Решение

11. Двум гонщикам предстоит проехать 85 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 8 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 17 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 48 минут? Ответ дайте в км/ч. Решение

12. Найдите наименьшее значение функции \(y=4^{x^2-2x+5}\). Решение

13. а) Решите уравнение \((2\cos^2x+\sin x-2)\sqrt{5tgx}=0\); Решение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([\pi; 5\pi/2]\) Решение

14. Все ребра правильной треугольной пирамиды \(SBCD\) с вершиной \(S\) равны 9. Основание \(O\) высоты \(SO\) этой пирамиды является серединой отрезка \(SS_1\), \(M\) – середина ребра \(SB\), точка \(L\) лежит на ребре \(CD\) так, что \(CL : LD=7:2\).
а) Докажите, что сечение пирамиды \(SBCD\) плоскостью \(S_1LM\) – равнобокая трапеция.
б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.

15 Решите неравенство \(\displaystyle\frac{(5x-3)^2}{x-2}\ge\frac{9-30x+25x^2}{14-9x+x^2}\) Решение

16. В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке M , причём AM = 2R и CM = 3R.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. Доказательство
б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если известно, что R = 2

17. По вкладу «А» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 10 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивает на 11 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А».

18. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система \(\left\{\begin{array}{l l} x^2+y^2+2(2y-x)a=1+2a-4a^2,\\ x^2+y^2+4(x-y)a=4+4a-7a^2\end{array}\right.\) имеет единственное решение.

19. Будем называть четырёхзначное число очень счастливым, если все цифры в его десятичной записи различны, а сумма первых двух из этих цифр равна сумме последних двух из них. Например, очень счастливым является число 3140.
а) Существуют ли десять последовательных четырёхзначных чисел, среди которых есть два очень счастливых?
б) Может ли разность двух очень счастливых четырёхзначных чисел равняться 2015?
в) Найдите наименьшее натуральное число, для которого не существует кратного ему очень счастливого четырёхзначного числа.

@СтатГрад

смотрите еще Демонстрационный вариант КИМ для проведения в 2016 году ЕГЭ по математике 11 класс Профильный уровень

Ответы

9. 5
10. 240000
11. 150 км/ч
12. 256
13. а) \(\pi n, \frac{\pi}{6}+2\pi n, n\in Z\) б) \(\pi; 2\pi; \frac{13\pi}{6}\)
14. б) 5.75
15. {3/5}\(\cup (2;7)\cup [8;+\infty)\)
16. \(\sqrt{5}\)
17. 9
18. \(-\frac{3}{7};\pm\frac{1}{5}; 1\)
19. а) да б) нет в) 11