Решение тренировочной работы по математике
МИОО 24 сентября 2015 г
13. Материал сайта www.itmathrepetitor.ru а) Из уравнения \((tg^2 x-1)\sqrt{13\cos x}=0\) следует, что \(tg^2x-1=0\) или \(13\cos x=0\). При этом помним, что и тангенс, и квадратный корень должны существовать. Поэтому второе уравнение \(13\cos x=0\) можно не рассматривать, так как \(\cos x\ne 0\) из-за тангенса. Остается решить уравнение \(tg^2x=1\) с ограничением \(\cos x>0\) из-за квадратного корня. Получаем \(tg x=\pm 1\) и \(x=\pm\displaystyle\frac{\pi}{4}+n\pi, n\in Z\). Из этого множества углов оставляем только те, которые принадлежат I или IV четверти. Поэтому \(x=\pm\displaystyle\frac{\pi}{4}+2\pi n,n \in Z\).
б) Материал сайта www.itmathrepetitor.ru В этом пункте необходимо из найденного множества корней выбрать только те, которые принадлежат отрезку \([-3\pi; -3\pi/2]\). Так как корни заданы довольно простой формулой, то можно попробовать определить углы “на глаз”. Но применим более общий способ, чтобы на экзамене быть во всеоружии. Разобьем формулу \(x=\pm\displaystyle\frac{\pi}{4}+2\pi n,n \in Z\) на две более простых \(x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+2\pi n,n \in Z\) и \(x=-\displaystyle\frac{\pi}{4}+2\pi n,n \in Z\) и каждую поместим в двойное неравенство. То есть \(-3\pi\le\displaystyle\frac{\pi}{4}+2\pi n\le -\frac{3\pi}{2}\) и \(-3\pi\le -\displaystyle\frac{\pi}{4}+2\pi n\le -\frac{3\pi}{2}\).
Решим первое неравенство (второе рассмотрите самостоятельно). Домножим все три части на \(4\) и перенесем \(\pi\) из средней части в крайние (слагаемое \(\pi\) поменяет знак и появится в обеих частях, что кажется странным, ибо было одно слагаемое, а стало два, но ошибки здесь нет): \(-12\pi\le \pi+8\pi n\le -6\pi\) \(\Leftrightarrow -13\pi\le 8\pi n\le -7\pi\), откуда \(-\displaystyle\frac{13}{8}\le n\le -\frac{7}{8}\). Так как \(n\in Z\), то есть \(n\) – целое число, то \(n=-1\). Подставляем это значение в формулу \(x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+2\pi n\) и получаем, что \(x=-\displaystyle\frac{7\pi}{4}\). Из второй формулы получим угол, равный \(-\displaystyle\frac{9\pi}{4}\).
15.1. Перед решением полезно вспомнить, что \(\log_a{b}\) существует только при \(a>0, a\ne 1, b>0\), что \(\log_ab^2=2\log_a|b|\) и что \(\log_ab=\displaystyle\frac{1}{\log_ba}\). Подробности можно посмотреть в справочнике.
Заметим, что \(x^2-10x+25=x^2-2\cdot x\cdot 5+5^2=(x-5)^2\) и \(-x^2+7x-10=-(x-5)(x-2)\). Здесь мы использовали формулы сокращенного умножения (квадрат разности и формула разложения квадратного трехчлена). Поэтому неравенство принимает вид \(\log_{x-2}|x-5|+\log_{5-x}(-(x-2)(x-5))\ge 3\). Типичной ошибкой было бы забыть про модуль.
Далее из существования второго слагаемого следует, что \(5-x>0\), значит, подмодульное выражение положительно и \(|x-5|=x-5\). Материал сайта www.itmathrepetitor.ru
Рассмотрим второе слагаемое. Можно формально применить свойство \(\log_c{(a\cdot b)}=\log_c{a}+\log_c{b}\) и получить, например, выражение \(\log_{5-x}(-x+2)+\log_{5-x}(x-5)\). И здесь будет допущена ошибка, связанная с тем, что в свойстве \(\log_c{(a\cdot b)}=\log_c{a}+\log_c{b}\) неявно предполагается, что все три логарифма существуют, то есть \(a>0, b>0, c>0, c\ne 1\). В противном случае формулу применять нельзя. В нашем примере \(5-x>0\) и \(\log_{5-x}(x-5)\) не существует. Поэтому предварительно запишем логарифм в виде \(\log_{5-x}(5-x)(x-2)\). Теперь обе скобки положительны и уравнение принимает вид \(\log_{x-2}(5-x)+\log_{5-x}(5-x)+\log_{5-x}(x-2)\ge 3\) \(\Leftrightarrow \log_{x-2}(5-x)+1+\displaystyle\frac{1}{\log_{x-2}(5-x)}\ge 3\) \(\Leftrightarrow\log_{x-2}(5-x)+\displaystyle\frac{1}{\log_{x-2}(5-x)}\ge 2\).
Пусть \(t=\log_{x-2}(5-x)\), тогда \(t+\displaystyle\frac{1}{t}\ge 2\) \(\Leftrightarrow\displaystyle\frac{(t-1)^2}{t}\ge 0\), откуда \(t>0\). Возвратимся к замене.
\(\log_{x-2}(5-x)>0\) \(\Rightarrow (x-3)(4-x)>0\) \(\Leftrightarrow x\in (3;4)\). При этом хотя бы устно необходимо проверить ограничения на \(x\) из исходного неравенства.
15.2 \(\displaystyle\frac{x}{x^2+3}\le\frac{1}{4x}\) \(\Leftrightarrow\displaystyle\frac{4x^2-x^2-3}{4x(x^2+3)}\le 0\). Заметим, что множитель \((x^2+3)\) можно удалить из знаменателя, так как он положителен и знак дроби зависит только от остальных множителей. Приходим к неравенству \(\displaystyle\frac{(x-1)(x+1)}{x}\le 0\).
Откуда методом интервалов находим ответ \(x\in (-\infty;-1]\cup (0;1]\)
17. www.itmathrepetitor.ru Прибыль за один год равна \(px-(0,5x^2+x+7)=-0,5x^2+(p-1)x-7\) млн. руб. Данное выражение является квадратным трехчленом с отрицательным коэффициентом \(a=-0,5\), поэтому его наибольшее значение существует (ветви параболы направлены вниз) и достигается при \(x=\displaystyle\frac{-b}{2a}=p-1\) (по формуле нахождения абсциссы вершины параболы). А наибольшее значение равно \(\displaystyle\frac{(p-1)^2}{2}-7\) (определили банальной подстановкой \(x\) в формулу прибыли). Тогда \(\displaystyle\frac{(p-1)^2}{2}-7\ge\frac{75}{3}\), откуда \((p-9)(p+7)\ge 0\). Так как цена \(p\) не может быть отрицательной, то \(p\ge 9\). Значит, наименьшее значение равно \(p=9\).
смотрите еще Демонстрационный вариант КИМ для проведения в 2016 году ЕГЭ по математике 11 класс Профильный уровень