Олимпиада САММАТ-2015 6 класс по математике

Заключительный этап

1. На доске написаны все натуральные числа от 1 до 2015  -часть чисел красным мелом, часть - синим. Наибольшее синее число равно количеству синих чисел, наименьшее красное число равно количеству красных чисел. Сколько красных чисел написано на доске?

2. Может ли каждый ученик дружить ровно с пятью одноклассниками, если в классе 33 человека?

3. Некий леспромхоз решил вырубить сосновый лес, но экологи запротестовали. Тогда директор леспромхоза всех успокоил, сказав: “В нашем лесу 99% сосны. После рубки сосна будет составлять 98% всех деревьев”. Какое наименьшее количество деревьев может остаться?

4. В десятичной записи числа \(\displaystyle\frac{1}{7}\) зачеркнули 2015-ю цифру после запятой (а другие цифры не меняли). Как изменилось число? (Увеличилось или уменьшилось?)

5. В обменном пункте совершаются операции двух типов:
   1) дай 2 евро  получи 3 доллара и конфету в подарок;
   2) дай 5 долларов  получи 3 евро и конфету в подарок.
   Когда богатенький Буратино пришел в обменник, у него были только доллары. Когда ушел  долларов стало поменьше, евро так и не появились, зато он получил 50 конфет. Во сколько долларов обошелся Буратино такой “подарок”?
6. Найдите произведение O·X ·A, если известно, что XAXAXA+XOXOXO делится на 2015.
7. У ромашки n лепестков. За ход разрешается оторвать либо один, либо два рядом растущих лепестка. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто и как выигрывает при правильной игре, если а) n = 20; б) n = 15?
8. Первоклассник Вова знает только цифру 1. Докажите, что он может написать число а) делящееся на 7; б) делящееся на 13; в) делящееся на 31.
9. В семье 4 человека. Если Маше удвоят стипендию, то общий доход всей семьи возрастет на 5%, если вместо этого маме удвоят зарплату  то на 15%, если же зарплату удвоят папе  то на 25%. На сколько процентов возрастет доход всей семьи, если дедушке удвоят пенсию?

10. Дано 2015 спичек. Играют два шестиклассника, ходят по очереди. Ход состоит в том, что играющий забирает не более шести, но не менее одной спички. Выигравшим считается тот, кто возьмет последнюю спичку. Кто выиграет при правильной игре?

перейти к другим олимпиадам

Ответы

1. 1008
2. нет
3. 50 деревьев = 49 сосен и 1 береза
4. уменьшилось
5. 10 долларов
6. 378
7. а) второй б) второй
8. а) 111111; б) 111111; в) 111111111111111 (15 цифр)
9. 55%
10. выиграет первый. Первый ход 6 спичек