III Олимпиада по криптографии и математике
список всех олимпиад по криптографии и математике
Задача 3.1.
Установите, можно ли создать проводную телефонную сеть связи, состоящую из 993 абонентов, каждый из которых был бы связан ровно с 99 другими.
Задача 3.2.
www.itmathrepetitor.ru Шифрпреобразование простой замены в алфавите A = \(\{a_1,a_2,…,a_n\}\), состоящем из \(n\) различных букв, заключается в замене каждой буквы шифруемого текста буквой того же алфавита, причем разные буквы заменяются разными. Ключом шифра простой замены называется таблица, в которой указано, какой буквой надо заменить каждую букву алфавита A. Если слово СРОЧНО зашифровать простой заменой с помощью ключа:
| A | Б | В | Г | Д | Е | Ж | З | И | К |
| Ч | Я | Ю | Э | Ы | Ь | Щ | Ш | Ц | Х |
| Л | М | Н | О | П | Р | С | Т | У | Ф |
| Ф | У | Б | Д | Т | З | В | Р | П | М |
| X | Ц | Ч | Ш | Щ | Ь | Ы | Э | Ю | Я |
| Л | К | А | И | О | Ж | Е | С | Г | Н |
то получится слово ВЗДАБД. Зашифровав полученное слово с помощью того же ключа еще раз, получим слово ЮШЫЧЯЫ. Сколько всего различных слов можно получить, если указанный процесс шифрования продолжать неограниченно?
Задача 3.3.
Сообщение, зашифрованное в пункте А шифром простой замены в алфавите из букв русского языка и знака пробела (-) между словами, передается в пункт Б отрезками по 12 символов. При передаче очередного отрезка сначала передаются символы, стоящие на четных местах в порядке возрастания их номеров, начиная со второго, а затем – символы, стоящие на нечетных местах (также в порядке возрастания их номеров), начиная с первого. В пункте B полученное шифрованное сообщение дополнительно шифруется с помощью некоторого другого шифра простой замены в том же алфавите, а затем таким же образом, как и из пункта А, передается в пункт В. По перехваченным в пункте В отрезкам:
восстановите исходное сообщение, зная, что в одном из переданных отрезков зашифровано слово КРИПТОГРАФИЯ
Задача 3.4.
Дана последовательность чисел \(C_1,C_2,…,C_n\) в которой \(C_n\) есть последняя цифра числа \(n^n\). Докажите, что эта последовательность периодическая и ее наименьший период равен 20.
Задача 3.5.
www.itmathrepetitor.ru Исходное сообщение, состоящее из букв русского алфавита и знака пробела (-) между словами, преобразуется в цифровое сообщение заменой каждого его символа парой цифр согласно следующей таблице:
| A | Б | В | Г | Д | Е | Ж | З | И | К |
| 01 | 02 | 03 | 04 | 05 | 06 | 07 | 08 | 09 | 10 |
| Л | М | Н | О | П | Р | С | Т | У | Ф |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| X | Ц | Ч | Ш | Щ | Ь | Ы | Э | Ю | Я |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
| – | |||||||||
| 31 |
Для зашифрования полученного цифрового сообщения используется отрезок последовательности из задачи 3.4, начинающийся с некоторого члена \(C_k\). При зашифровании каждая цифра сообщения складывается с соответствующей цифрой отрезка и заменяется последней цифрой полученной суммы. Восстановите сообщение:
2339867216458160670617315588
Задача 3.6.
Равносторонний треугольник ABC разбит на четыре части так, как показано на рисунке, где M и N – середины сторон AB и BC соответственно. Известно, что PK перпендикулярно MQ и NL перпендикулярно MQ. В каком отношении точки P и Q делят сторону AC, если известно, что из этих частей можно составить квадрат?
