ЕГЭ Реальный вариант № 301 Профильный уровень 2017

ЕГЭ по математике 2017
Профильный уровень

Реальный вариант № 301

Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 8 заданий с кратким ответом базового уровня сложности. Часть 2 содержит 4 задания с кратким ответом повышенного уровня сложности и 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности.
На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).
Ответы к заданиям 1–12 записываются по приведённому ниже образцу в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Числа запишите в поля ответов в тексте работы, а затем перенесите их в бланк ответов № 1.

При выполнении заданий 13–19 требуется записать полное решение и ответ в бланке ответов № 2.
Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой, или капиллярной, или перьевой ручек.
При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике не учитываются при оценивании работы. Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются.
Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.
Желаем успеха!

Условия задач и ответы

Часть 1

Ответом к заданиям 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы, затем перенесите его в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак «минус» и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

Цена на электрический чайник была повышена на 25% и составила 1625 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?
На графике изображена зависимость крутящего момента двигателя от числа его оборотов в минуту. На горизонтальной оси отмечено число оборотов в минуту, на вертикальной оси — крутящий момент в Н ⋅ м. Определите по графику крутящий момент, если двигатель совершал 5000 оборотов в минуту. Ответ дайте в Н ⋅ м.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его биссектрисы, проведённой из вершины B.
www.itmathrepetitor.ru В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 12 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Найдите корень уравнения \((1/6)^{x-2}=6^{x}\)
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 98°, угол CAD равен 44°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
На рисунке изображён график функции \(y=f(x)\). На оси абсцисс отмечено восемь точек: \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8\). В ответе укажите количество
точек (из отмеченных), в которых производная функции \(y=f(x)\) положительна.
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности конуса равна \(3\sqrt{2}\). Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.Часть 2
Найдите значение выражения \(\sqrt{2}\sin\displaystyle\frac{7\pi}{8}\cdot\cos\displaystyle\frac{7\pi}{8}\)
www.itmathrepetitor.ru Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием f = 36 см. Расстояние d₁ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 см до 50 см, а расстояние d₂ от линзы до экрана — в пределах от 160 см до 180 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение \(\displaystyle\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}\).
На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.
Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 27 км/ч, проходит некоторое расстояние по реке и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 32 часа после отправления из него. Сколько километров проходит теплоход за весь рейс?
Найдите точку минимума функции \(y=x^2-28x+96\cdot\ln x+31\)
а) Решите уравнение \(9\cdot81^{\cos x}-28\cdot9^{\cos x}+3=0\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \([5\pi/2;4\pi]\).
На рёбрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM : MB = CN : NB = 1 : 2. Точки P и Q — середины рёбер DA и DC соответственно.
а) Докажите, что точки P, Q, M и N лежат в одной плоскости.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.
Решите неравенство \(\displaystyle\frac{2\log_4(64x)}{\log_4x-3}+\frac{\log_4x-3}{\log_4(64x)}\ge\frac{\log_4x^4+16}{\log_4^2x-9}\)
www.itmathrepetitor.ru Точка E — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB взяли точку K так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезки CK и BE пересекаются в точке O.
а) Докажите, что CO = KO.
б) Найдите отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет 9/100 площади трапеции ABCD.
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму.
Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Если ежегодно выплачивать по 58564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r .
Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \(\sqrt{2x-1}\cdot\ln(4x-a)=\sqrt{2x-1}\cdot\ln(5x+a)\) имеет ровно один корень на отрезке ([0;1]).
На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6?
б) Может ли ровно одно число на доске оканчиваться на 6?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть на доске?