ЕГЭ по математике 2 июня 2017

11 класс

Условия задач

Часть 1

1. Цена на электрический чайник была повышена на 14% и составила 1596 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?
2. На графике изображена зависимость крутящего момента двигателя от числа его оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту, на оси ординат — крутящий момент в Н∙м. Скорость автомобиля (в км/ч) приближенно выражается формулой \(v=0,036n\) где n — число оборотов двигателя в минуту. С какой наименьшей скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы крутящий момент был равен 120 Н∙м? Ответ дайте в километрах в час. 
3. На клетчатой бумаге с размером клетки \(\sqrt{5}\) x \(\sqrt{5}\) изображен треугольник АВС. Найдите длину его высоты, опущенной на сторону ВС. 
4. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвёртым и пятым днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
5. Найдите корень уравнения \((\frac{1}{2})^{6-2x}=4\)
6. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105^o, угол CAD равен 35^o. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах. 
7. На рисунке изображен график \(y=f'(x)\) производной функции \(y=f(x)\), определенной на интервале \((-7;14)\). Найдите количество точек максимума функции \(f(x)\), принадлежащих отрезку \([-6;9]\). 
8. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
9. Найдите значение выражения \(\sqrt{3}-\sqrt{12}\cdot\sin^2\displaystyle\frac{5\pi}{12}\)
10. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием \(f = 30\) см. Расстояние \(d_1\) от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние \(d_2\) от линзы до экрана – в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение \(\displaystyle\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}\). Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы ее изображение на экране было четким. Ответ выразите в сантиметрах.
11. Расстояние между пристанями A и B равно 120 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот проплыл 24 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
12. Найдите точку  максимума функции \(y=\ln(x+5)^5-5x\).
13. а) Решите уравнение \(25^{\sin x}=(\frac{1}{5})^{-\sqrt{2}\sin 2x}\); б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([2\pi;7\pi/2]\).
14. На ребрах АВ и ВС треугольной пирамиды АВСD отмечены точки M и N соответственно, причем АМ:МВ = CN:NB = 3:1. Точки P и Q – середины рёбер DA и DC соответственно.
    а) Докажите, что точки P,Q,M и N лежат в одной плоскости;
    б) Найдите, в каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды.
15. Решите неравенство \(\displaystyle\frac{\log_5(25x)}{\log_5x-2}+\frac{\log_5x-2}{\log_5(25x)}\ge\frac{6-\log_5x^4}{\log_5^2x-4}\)
16. Точка Е – середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На её стороне АВ взяли точку К так, что прямые СК и АЕ параллельны. Отрезки СК и ВЕ пересекаются в точке О.
    а) Докажите, что СО=КО.
    б) Найдите отношение оснований трапеции BС : АD, если площадь треугольника ВСК составляет 9/64 площади всей трапеции ABCD.
17. В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
    ‐ каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
    ‐ с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга.
    Найдите r, если известно, что если выплачивать по 777600 рублей , то кредит будет погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 1317600 рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года?
18. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \(\sqrt{x-a}\cdot\sin x=-\sqrt{x-a}\cdot\cos x\) имеет ровно один корень на отрезке \([0;\pi]\).
19. Каждый из 32 студентов или писал одну из двух контрольных работ, или писал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 14. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за нее). Среднее арифметическое названных баллов оказалось равно S.
    а) Приведите пример, когда S<14
    б) Могло ли значение S быть равным 17?
    в) Какое наименьшее значение могло принимать S, если обе контрольные работы писали 12 студентов?

смотрите также Досрочный ЕГЭ по математике 2015