Пробный вариант ЕГЭ ФИПИ

Профильный уровень, 11 класс, январь, 2016 г

Условия задач, ответы и решения (скоро…)

Вариант 3

Часть 1

1. Система навигации самолета информирует пассажира о том, что полет проходит на высоте 21 000 футов. Выразите высоту полета в метрах. Считайте, что 1 фут равен 30,5 см.

2. На диаграмме показано количество посетителей сайта РИА Новости в течение каждого часа 8 декабря 2009 года. По горизонтали указывается номер часа, по вертикали – количество посетителей сайта за данный час. Определите по диаграмме, каким было наибольшее количество посетителей в данный день на сайте РИА Новости.

3. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 73. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

4. На фабрике керамической посуды 20% произведенных тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 70% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.

5. Найдите корень уравнения \(\displaystyle\frac{x-27}{x-3}=4\).

6. В треугольнике ABC угол С равен 90^o, BC равно 12, \(\cos A\) равен 0,25. Найдите высоту СН.

7. На рисунке изображен график \(y=f'(x)\) – производной функции \(y=f(x)\), определенной на интервале \((-6;7)\).  В какой точке отрезка \([-4;2]\) функция \(y=f(x)\) принимает наименьшее значение?

8. Объем параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равен 27. Найдите объем треугольной пирамиды \(ABDA_1\).

Часть 2

9. Найдите значение выражения \(\log_6234-\log_66,5\)

10. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону \(H(t)=at^2+bt+H_0\), где \(H_0 = 3\) м – начальный уровень воды, \(a=\displaystyle\frac{1}{1200}\) м/мин² и \(b=-\displaystyle\frac{1}{10}\) м/мин – постоянные, \(t\) – время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ выразите в минутах.

11. Феде надо решить 90 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Федя решил 10 задач. Определите, сколько задач решил Федя в последний день, если со всеми задачами он справился за 6 дней.

12. Найдите наименьшее значение функции \(y=x^3-27x+11\) на отрезке \([0;4]\).

13. а) Решите уравнение \(\sin^2x-3\sin x-4=0\).
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-4\pi; -5\pi/2]\).

14.  На ребре \(AA_1\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) взята точка \(E\) так, что \(A_1E:EA = 4:1\), а на ребре \(BB_1\) – точка \(F\) так, что \(B_1F : FB = 2:3\). Известно, что \(AB=5\sqrt{2}\), \(AD = 12\), \(AA_1 = 15\).
а) Докажите, что плоскость \(EFD_1\) делит ребро \(B_1C_1\) на два равных отрезка.
б) Найдите угол между плоскостью \(EFD_1\) и плоскостью \(AA_1B_1\).

15. Решите неравенство  \(x\le\log_4(322\cdot 14^x-14^{2x+1})-\log_4 (322\cdot 2^x-7^{x+1}\cdot 2^{2x+1})\)

16. Дан прямоугольный треугольник RST с прямым углом T. На катете RT взята точка M. Окружность с центром О и диаметром TM касается гипотенузы в точке N.
а) Докажите, что прямые MN и SO параллельны.
б) Найдите площадь четырехугольника SOMN, если TN = 8 и RM:MT = 1:3.

17. 10-го марта клиент взял кредит в банке на следующих условиях:

• срок кредита 24 месяца;
• 1-го числа каждого следующего месяца долг возрастает на 1,2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
• со 2-го по 9-ое число каждого месяца следует погасить часть долга, так чтобы на 10-ое число каждого месяца долг уменьшался на одну и ту же сумму.

Какая сумма была взята в кредит, если известно, что общая сумма выплат равняется 1,035 млн рублей?

18. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система \(\left\{\begin{array}{l l} x^2+ay^2+2x+4-a=0,\\ ax^2+y^2+2y+4-a=0,\\ |x|>1, \\ |y|>1 \end{array}\right.\)  имеет единственное решение.

19. Известно, что \(a_1,a_2,…,a_n,…\) и \(b_1,b_2,…,b_n,…\) – две бесконечные арифметические прогрессии, состоящие из натуральных чисел (разности прогрессий могут равняться нулю). Обозначим через \(A_n\) сумму первых \(n\) членов первой из этих прогрессий, а через \(B_n\) – сумму первых \(n\) членов второй из них.
а) Могут ли одновременно выполняться равенства \(A_2=4B_2\) и \(A_4=10B_4\)?
б) Могут ли одновременно выполняться равенства \(A_2=6B_2\) и \(A_4=2B_4\)?
в) Какой наименьшее значение может принимать число \(k\), если \(A_2=5B_2\), \(A_4=3B_4\) и \(A_5=kB_5\)?

смотрите еще Демонстрационный вариант КИМ для проведения в 2016 году ЕГЭ по математике 11 класс Профильный уровень

Ответы

1. 6405
2. 80000
3. 584
4. 0,93
5. -5
6. 3
7. 2
8. 4,5
9. 2
10. 60
11. 20
12. -43