Демонстрационный вариант
контрольных измерительных материалов
единого государственного экзамена 2025 года
по математике
Профильный уровень

Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом базового и повышенного уровней сложности. Часть 2 содержит 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности.
На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).
Ответы к заданиям 1–12 записываются по приведённому ниже образцу в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Числа запишите в поля ответов в тексте работы, а затем перенесите их в бланк ответов № 1. При выполнении заданий 13–19 требуется записать полное решение и ответ в бланке ответов № 2.
Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой или капиллярной ручки.
При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике, а также в тексте контрольных измерительных материалов не учитываются при оценивании работы.
Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются.
Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов. После завершения работы проверьте, чтобы ответ на каждое задание в бланках ответов № 1 и № 2 был записан под правильным номером.
Желаем успеха!

Условия задач и ответы 

Часть 1

1. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 103°, угол CAD равен 42°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
   ИЛИ Площадь параллелограмма ABCD равна 24. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции BCDE.
   ИЛИ В треугольнике ABC стороны AC и ВC равны, угол C равен 134°, угол CBD — внешний. Найдите угол CBD. Ответ дайте в градусах.
   ИЛИ Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
2. На координатной плоскости изображены векторы a и b. Найдите скалярное произведение a·b.
   ИЛИ
   Даны векторы a(25; 0) и b(1; −5) . Найдите длину вектора a − 4b.
3. Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.
   ИЛИ
   Стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды равны 10, боковые рёбра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
   ИЛИ
   В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/3 высоты. Объём жидкости равен 4 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
4. В группе туристов 20 человек. С помощью жребия они выбирают семь человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?
   ИЛИ
   Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19 включительно.
5. Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,2. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит?
   ИЛИ
   В коробке 5 синих, 9 красных и 11 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны
   один синий и один красный фломастеры.
6. Найдите корень уравнения \(4^{x-7}=\displaystyle\frac{1}{64}\)
   ИЛИ
   Найдите корень уравнения \(\sqrt{3x+49}=10\)
   ИЛИ
   Найдите корень уравнения \(\log_8(5x+47)=3\)
   ИЛИ
   Решите уравнение \(\sqrt{2x+3}=x\). Если корней окажется несколько, то в ответе запишите наименьший из них.
7. Найдите значение выражения \(3\cos{2\alpha}\), если \(\sin\alpha=0,2\).
   ИЛИ
   Найдите значение выражения \(\displaystyle\frac{\log_9{28}}{\log_9{7}}+\log_7{\displaystyle\frac{7}{4}}\)
   ИЛИ
   Найдите значение выражения \(25^{2\sqrt{8}+3}\cdot5^{-3-4\sqrt{8}}\)
8. На рисунке изображён график \(y=f'(x)\) производной функции \(y=f(x)\). На оси абсцисс отмечено десять точек: \(x_1, …, x_{10}\). Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции \(y=f(x)\)?
   ИЛИ
   На рисунке изображены график функции \(y=f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_0\). Найдите значение производной функции \(y=f(x)\) в точке \(x_0\).
9. Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой \(f_0\) = 295 Гц . Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе такой же тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка \(f\) (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза \(v\) (в м/с) и изменяется по закону \(f(v)=\displaystyle\frac{f_0}{1-\frac{v}{c}}\) (Гц), где \(c\) — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 5 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а \(c\) = 300 м/с. Ответ дайте в м/с.
10. Моторная лодка прошла против течения реки 143 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
    ИЛИ
    Смешав 45%-й и 97%-й растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62%-й раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%-го раствора той же кислоты, то получили бы 72%-й раствор кислоты. Сколько килограммов 45%-го раствора использовали для получения смеси?
    ИЛИ
    Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 104 литра она заполняет на 5 минут дольше, чем вторая труба?
11. На рисунке изображены графики функций видов \(f(x)=ax^2+bx+c\) и \(g(x)=kx\), пересекающихся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
12. Найдите наименьшее значение функции \(y=9x-9ln(x+11)+7\) на отрезке \([-10,5;0]\).
    ИЛИ
    Найдите точку максимума функции \(y=(x+8)^2e^{3-x}\)
    ИЛИ
    Найдите точку минимума функции \(y=-\displaystyle\frac{x}{x^2+256}\)

Часть 2

13. а) Решите уравнение \(2\sin^3{x}=\sqrt{2}\cos^2{x}+2\sin{x}\)
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-4\pi;-5\pi/2]\).
14. В правильном тетраэдре ABCD точки M и N — середины рёбер AB и CD соответственно. Плоскость \(\alpha\) перпендикулярна прямой MN и пересекает ребро BC в точке K.
    а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна рёбрам AB и CD.
    б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью \(\alpha\), если известно, что BK = 1, KC = 3.
15. Решите неравенство \(\displaystyle\frac{\log_2{(2-x)}-\log_2{(x+1)}}{\log^2_2{x^2}+\log_2x^4+1}\ge0\)
16. В июле 2026 года планируется взять кредит на десять лет в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
    – каждый январь долг будет возрастать на r % по сравнению с концом предыдущего года (r — целое число);
    – с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
    – в июле 2027, 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
    – в июле 2031 года долг должен составить 200 тыс. рублей;
    – в июле 2032, 2033, 2034, 2035 и 2036 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
    – к июлю 2036 года долг должен быть выплачен полностью.
    Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1480 тыс. рублей. Найдите r.
17. Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что AB=CD=3, BC=DE=4.
    а) Докажите, что AC=CE.
    б) Найдите длину диагонали BE, если AD=6.
18. Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения \(\left\{\begin{array}{l l} (x^2-5x-y+3)\sqrt{x-y+3}=0,\\y=3x+a\end{array}\right.\).
19. Из пары натуральных чисел ( a; b ) , где a > b, за один ход получают пару (a + b; a − b).
    а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (100;1) пару, большее число в которой равно 400?
    б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (100;1) пару (806; 788)?
    в) Какое наименьшее a может быть в паре (a; b), из которой за несколько ходов можно получить пару (806; 788)?

смотрите также Демо ЕГЭ 2017 Базовый уровень

Ответы

1. 61 ИЛИ 18 ИЛИ 157 ИЛИ 5
2. 12 ИЛИ 29
3. 1,125 ИЛИ 340 ИЛИ 104
4. 0,35 ИЛИ 0,38
5. 0,992 ИЛИ 0,15
6. 4 ИЛИ 17 ИЛИ 93 ИЛИ 3
7. 2,76 ИЛИ 2 ИЛИ 125
8. 6 ИЛИ -1,4
9. 5
10. 12 ИЛИ 15 ИЛИ 8
11. 7
12. -83 ИЛИ -6 ИЛИ 16
13. а) \(\pi/2+k\pi; -\pi/4+2n\pi; -3\pi/4+2m\pi\); б) \(-7\pi/2;-11\pi/4;-5\pi/2\)
14. б) 3
15. \((-1;-\sqrt{2}/2)\cup(-\sqrt{2}/2;0)\cup(0;1/2]\)
16. 20
17. 17/3
18. -13; [-9;3)
19. а) да б) нет в) 403