Досрочный вариант
единого государственного экзамена 2017 года
по математике

Математика, 11 класс

Профильный уровень

Условия задач

1. В квартире установлен счетчик холодной воды. Показания 1 марта – 270 куб. м., а 1 апреля – 320 куб. м. Сколько нужно заплатить за холодную воду за март, если стоимость 1 куб. м. воды равна 14 руб. 50 коп.?

2. На рисунке жирными точками показана цена палладия на момент закрытия торгов. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали – цена палладия в рублях за грамм. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку максимальную стоимость металла во второй половине месяца.

3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображен четырехугольник. Найдите радиус окружности, которую можно вписать в данный четырехугольник.

4. Перед началом футбольного матча капитаны команд подбрасывают монету. Какова вероятность того, что команда «Статор» будет начинать все три матча?

5. Найдите корень уравнения \(\log_7(5x-3)=2\log_73\)

6. Найдите \(\cos A\), если известно, что AB = 10, CB = \(\sqrt{19}\)

7. На рисунке изображены график функции \(y=f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_0\). Найдите значение производной функции \(y=f(x)\) в точке \(x_0\).

8. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Известно, что AA₁ = 5, BC = 4 и D₁C₁ = 3. Найдите объем многогранника ADA₁B₁C₁D₁.

9. Найдите значение выражения \(\displaystyle\frac{\sqrt[3]{36}\cdot\sqrt[5]{36}}{\sqrt[30]{36}}\)

10. Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: \(T(t)=T_0+bt+at^2\), где \(t\) – время в минутах, \(T_0 = 1400\) К, \(a = -10\) К/мин², \(b=200\) K/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1760 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

11. Первый час автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, затем 2 часа со скоростью 110 км/ч, а следующие 2 часа со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всем пути. Ответ выразите в км/ч

12. Найдите наименьшее значение функции \(y=6\cos x+\displaystyle\frac{24x}{\pi}+5\) на промежутке \([-2\pi/3;0]\)

13. а) Решите уравнение \(8^x-9\cdot2^{x+1}+2^{5-x}=0\)

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([\log_52;\log_5{20}]\)

14. Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью \(\alpha\), содержащей прямую BD₁ и параллельной прямой АС, является ромб.

а) Докажите, что грань ABCD – квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями \(\alpha\) и BCC₁, если AA₁ = 6 и AB = 4.

15. Решите неравенство \(\log_2^2(25-x^2)-7\log_2(25-x^2)+12\ge0\)

16. В треугольнике ABC точки A₁, B₁ и C₁ – середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH – высота, угол BAC равен 60^o, угол BCA равен 45^o.

а) Докажите, что точки A₁, B₁, C₁ и H лежат на одной окружности.

б) Найдите A₁H, если BC равно \(2\sqrt{3}\).

17. Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят \(t^2\) тыс. рублей в конце года \(t\) (t=1;2;,…). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счет в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счете будет увеличиваться в \(r+1\) раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счете была наибольшей. Расчеты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях \(r\) это возможно?

18. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система неравенств \(\left\{\begin{array}{l l}ax\ge2,\\ \sqrt{x-1}>a,\\ 3x\le2a+11\end{array}\right.\) имеет хотя бы одно решение на отрезке \([3;4]\)

19. На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.

а) Может ли на доске быть 5 чисел?

б) Может ли на доске быть 6 чисел?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

Ответы

13.  а) 2; 1/2 б) 1/2

14. arctg(5/3)

15. \((-5;-\sqrt{17}]\cup[-3;3]\cup[\sqrt{17};5)\)

16. 1

17. \((43/441; 41/400)\)

18. \([0,5;\sqrt{3})\)

19. а) да; б) нет; в) 35

смотрите также Досрочный ЕГЭ по математике 2015