Демонстрационный вариант
ЕГЭ 2019 по математике
Профильный уровень

При ознакомлении с демонстрационным вариантом контрольных
измерительных материалов (КИМ) единого государственного экзамена (ЕГЭ)
2019 г. следует иметь в виду, что задания, включённые в него, не отражают
всех вопросов содержания, которые будут проверяться с помощью вариантов
КИМ в 2019 г. Полный перечень вопросов, которые могут контролироваться на
едином государственном экзамене 2019 г., приведён в кодификаторе элементов
содержания и требований к уровню подготовки выпускников образовательных
организаций для проведения единого государственного экзамена 2019 г. по
математике.
Назначение демонстрационного варианта заключается в том, чтобы дать
возможность любому участнику ЕГЭ и широкой общественности составить
представление о структуре будущих КИМ, количестве заданий,
об их форме и уровне сложности. Приведённые критерии оценки выполнения
заданий с развёрнутым ответом, включённые в этот вариант, дают
представление о требованиях к полноте и правильности записи развёрнутого
ответа.
Эти сведения позволят выпускникам выработать стратегию подготовки
к ЕГЭ в 2019 году.

Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя
19 заданий. Часть 1 содержит 8 заданий с кратким ответом базового уровня
сложности. Часть 2 содержит 4 задания с кратким ответом повышенного уровня
сложности и 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого
уровней сложности.
На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа
55 минут (235 минут).
Ответы к заданиям 1–12 записываются по приведённому ниже образцу
в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Числа запишите в поля
ответов в тексте работы, а затем перенесите их в бланк ответов № 1.

При выполнении заданий 13–19 требуется записать полное решение
и ответ в бланке ответов № 2.
Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается
использование гелевой или капиллярной ручки.
При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи
в черновике, а также в тексте контрольных измерительных материалов
не учитываются при оценивании работы.
Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются.
Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее
количество баллов.
После завершения работы проверьте, чтобы ответ на каждое задание в
бланках ответов № 1 и № 2 был записан под правильным номером.
Желаем успеха!

Условия задач и ответы 

Решение задач смотрите здесь

Часть 1

1. Поезд отправился из Санкт-Петербурга в 23 часа 50 минут (время московское) и прибыл в Москву в 7 часов 50 минут следующих суток. Сколько часов поезд находился в пути?
2. На рисунке точками показана средняя температура воздуха в Сочи за каждый месяц 1920 г. По горизонтали указаны номера месяцев; по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для наглядности точки соединены линией.  Сколько месяцев средняя температура была больше 18 градусов Цельсия? 
3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см изображён треугольник. Найдите его площадь. Ответ дайте в см². 
4. В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов. Только в двух билетах встречается вопрос о грибах. На экзамене выпускнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете будет вопрос о грибах.
5. Найдите корень уравнения \(3^{x-5}=81\)
6. Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Угол BAC равен 32^o. Найдите угол BOC . Ответ дайте в градусах.
7. На рисунке изображён график дифференцируемой функции \(y=f(x)\). На оси абсцисс отмечены девять точек: \(x_1,x_2,…,x_9\).  Найдите все отмеченные точки, в которых производная функции \(y=f(x)\) отрицательна. В ответе укажите количество этих точек. 
8. В первом цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. Эту жидкость перелили во второй цилиндрический сосуд, диаметр основания которого в 2 раза больше диаметра основания первого. На какой высоте будет находиться уровень жидкости во втором сосуде? Ответ выразите в см.
   Часть 2
9. Найдите \(\sin2\alpha\), если \(\cos\alpha = 0,6\) и \(\pi<\alpha<2\pi\).
10. Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковой сигнал частотой 749 МГц. Приёмник регистрирует частоту сигнала, отражённого от дна океана. Скорость погружения батискафа (в м/с) и частоты связаны соотношением \(v = c\cdot\displaystyle\frac{f-f_0}{f+f_0}\), где \(c=1500\) м/c  — скорость звука в воде; \(f_o\) — частота испускаемого сигнала (в МГц); \(f\) — частота отражённого сигнала (в МГц). Найдите частоту отражённого сигнала (в МГц), если батискаф погружается со скоростью 2 м/с.
11. Весной катер идёт против течения реки в \(1\displaystyle\frac{2}{3}\) раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в \(1\displaystyle\frac{1}{2}\) раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).
12. Найдите точку максимума функции \(y=ln(x+4)^2+2x+7\)
13. а) Решите уравнение \(2\sin(x+\frac{\pi}{3})+\cos2x=\sqrt{3}\cos x+1\).
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-3\pi;-3\pi/2]\).
14. Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ имеют длину 6. Точки M и N — середины рёбер AA₁ и A₁C ₁ соответственно.
    а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.
    б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB_1.
15. Решите неравенство \(\log_{11}(8x^2+7)-\log_{11}(x^2+x+1)\ge\log_{11}(\frac{x}{x+5}+7)\)
16. Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
    а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
    б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
17. 15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:
    — 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;
    — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
    — 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей   Найдите наибольшее значение r , при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.
18. Найдите все положительные значения \(a\), при каждом из которых система \(\left\{\begin{array}{l l} (|x|-5)^2+(y-4)^2=9,\\ (x+2)^2+y^2=a^2\end{array}\right.\) имеет единственное решение.
19. В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали,
    по крайней мере, 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
    а) Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшиться в 10 раз?
    б) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 7?
    в) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.

Решение задач здесь

смотрите также Демо ЕГЭ 2017 Базовый уровень

Ответы

1. 8
2. 4
3. 6
4. 0,08
5. 9
6. 64
7. 4
8. 4
9. -0,96
10. 751
11. 5
12. -5
13. а) \(\pi n, n\in Z, \pi/6+2\pi k, k\in Z, 5\pi/6+2\pi m, m\in Z\) б) \(-3\pi; -2\pi; -11\pi/6\)
14. б) \(arcsin\sqrt{3/8}\)
15. \((-\infty;-12]; (-35/8;0]\)
16. 3,2
17. 7
18. \(2;\sqrt{65}+3\)
19. а) да; б) нет; в) 5.

Решение задач смотрите здесь