Европейская математическая олимпиада для девочек
EGMO 2015, Минск, Беларусь
День первый
Время 4 часа 30 мин
- Пусть ABC – остроугольный треугольник, а точка D – основание высоты, проведенной из вершины С. Биссектриса угла АВС пересекает CD в точке Е, а описанную окружность \(\omega\) треугольника ADE вторично пересекает в точке F. Докажите, что если угол ADF равен 45 градусов, то CF является касательной к окружности \(\omega\).
- Домино – это плитка размера 2 x 1 или 1 x 2. Определите количество различных способов расположить ровно \(n^2\) плиток домино без наложений на шахматной доске размера \(2n\) х \(2n\) так, что каждый квадрат размера \(2\) х \(2\) содержит по крайней мере две пустых клетки, которые находятся в одной и той же строке или одном и том же столбце.
- Пусть \(n\), \(m\) – натуральные числа, большие 1, и пусть \(a_1\), \(a_2\), …, \(a_m\) – натуральные числа, не превосходящие \(n^m\). Докажите, что существуют натуральные числа \(b_1, b_2, …, b_m\), не превосходящие \(n\), такие, что НОД(\(a_1+b_1, a_2+b_2, …, a_m+b_m\))\(<n\), где НОД(\(x_1,x_2,…,x_m\)) обозначает наибольший общий делитель чисел \(x_1,x_2,…,x_m\).
День второй
Время 4 часа 30 мин
- Определите, существует ли бесконечная последовательность \(a_1, a_2, …\) натуральных чисел, удовлетворяющая равенству \(a_{n+2}=a_{n+1}+\sqrt{a_{n+1}+a_n}\) для любого натурального значения \(n\).
- Пусть \(m\) и \(n\) являются натуральными числами, причем \(m>1\). Анастасия разбивает натуральные числа \(1,2,…,2m\) на \(m\) пар. Затем Борис выбирает по одному числу из каждой пары и находит сумму этих выбранных чисел. Докажите, что Анастасия может выбрать разбиение на пары так, что Борис не сможет сделать свою сумму равной \(n\).
- Пусть Н – ортоцентр, а G – центр тяжести остроугольного треугольника ABC, причем AB \(\ne\) AC. Прямая AG пересекает описанную около треугольника АВС окружность в точках А и Р. Пусть \(P’\) – отражение точки Р относительно прямой ВС. Докажите, что угол CAB равен 60 градусов тогда и только тогда, когда \(HG = GP’\).