ЕГЭ 2014 Типовой вариант 4
Условия задач с ответами и решениями

B1. Пачка масла стоит 37 рублей 70 копеек. Сколько пачек масла можно купить на 500 рублей?

B2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Хельсинки за каждый месяц 2009 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали – температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме сколько было месяцев в 2009 году, когда среднемесячная температура была отрицательная.

B3. Найдите площадь квадрата ABCD.

B4. Для транспортировки 80 тонн груза на 1100 км можно использовать одного из трех перевозчиков. Тарифы перевозчиков приведены в таблице. Какова наименьшая стоимость (в рублях) транспортировки?

B5. Решите уравнение\(2^{5-x}=0,25\)

B6. Отрезок является хордой окружности с центром О. Найдите угол между прямой АВ и касательной к окружности, проходящей через точку А, если угол АОВ равен 56^о. Ответ дайте в градусах.

B7. Найдите значение выражения \(\displaystyle\sqrt{35^2-28^2}\).

B8. На рисунке изображен график функции \(y=f(x)\). Прямая, проходящая через точку (-1; 1), касается этого графика в точке с абсциссой 3. Найдите \(f ‘ (3)\)

B9. Высота PH боковой грани PCD правильной четырехугольной пирамиды PABCD равна \(4\sqrt{3}\) и равна стороне CD основания пирамиды. Найдите расстояние между прямыми АВ и РН.

B10. Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвуют 56 шашистов, среди которых 12 участников из России, в том числе Валерий Стремянкин. Найдите вероятность того, что в первом туре Валерий Стремянкин будет играть с каким-либо шашистом из России.

B11. Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед. Радиус основания и высота цилиндра равны 6. Найдите объем параллелепипеда.

B12. Высоту над землей (в метрах) подброшенного вверх камня можно вычислить по формуле \(h(t)=1,4+14t-5t^2\), где \(t\) – время в секундах. Сколько секунд камень будет находиться на высоте более 8 метров?

B13. Из пункта А круговой трассы, длина которой равна 30 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобилиста. Скорость первого равна 92 км/ч, скорость второго – 77 км/ч. Через сколько минут первый автомобилист будет опережать второго равно на 1 круг?

B14. Найдите наименьшее значение функции \(y=13x-13tg x-18\) на отрезке \([0; \pi/4]\)

С1. а) Решите уравнение \(\displaystyle 7\sin^2x+8\cos x-8=0\) б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-\pi/2; \pi/2]\).

С2. Основанием прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ является равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = BC = 10, AC = 16. Боковое ребро призмы равно 24. Точка Р – середина ребра ВВ₁. Найдите тангенс угла между плоскостями A₁B₁C₁ и ACP.

С3. Решите  систему неравенств \(\left\{\begin{array}{l l} \log_{x^3+3x^2+3x+1}(4-x)\geq 0,\\ \displaystyle\frac{1}{x^2-4x+3}+\frac{1}{x^2-10x+21}\leq 0\end{array}\right.\)

С4. Точка О – центр окружности радиуса 2. На продолжении радиуса ОМ взята точка А. Через точку А проведена прямая, касающаяся окружности в точке К. Известно, что угол ОАК равен 60^о. Найдите радиус окружности, вписанной в угол ОАК и касающейся данной окружности внешним образом.

С5. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \(|\log_5(x^2)-a|-|\log_5x+2a|=(\log_5x)^2\) имеет ровно четыре решения.

С6. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из отрезка натурального ряда от 1 до 2009 так, чтобы разность любых двух из них не была простой?

Ответы

B1. 13
B2. 4
B3. 5
B4. 754600
B5. 7
B6. 28
B7. 21
B8. -0,5
B9. 6
B10. 0,2
B11. 864
B12. 1,6
B13. 120
B14. -18
C1. а) \(2\pi n, \pm arccos(1/7)+2\pi m, n,m\in Z\) б)\(0, \pm arccos(1/7)\)
C2. 2
C3. \((1;3)\)
C4. \(2\pm 4\sqrt{2}/3\)
C5. \( -1/12<a<0\) или  \(0<a<1/12\)
C6. 503