7. Представьте число $$3,21(6)$$ в виде обыкновенной дроби.
Решение:
Пусть $$3,21(6) = x$$. Для того чтобы “,” оказалась перед периодом (6) умножим левую и правую части этого равенства на 100: $$321,(6) = 100x$$. И еще умножим на 10, чтобы “,” сместилась на длину периода: $$3216,(6) = 1000x$$. Отнимем от последнего уравнения предыдущее: $$3216,(6) – 321,(6) = 1000x – 100x$$, и заметим, что в левой части получается целое число: $$2895 = 900x$$, откуда $$x = \frac{{2895}}{{900}} = \frac{{193}}{{60}}$$.
Ответ: $$\frac{{193}}{{60}}$$
8. $$0,(51)$$. Ответ: $$\frac{{17}}{{33}}$$
9. $$4,11(3)$$. Ответ: $$\frac{{617}}{{150}}$$
10. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые в выражении $$(x + 2)(x^2 + 4 – 2x) – (x^2 – 3x)(x + 3)$$.
Решение:
$$(x + 2)(x^2 + 4 – 2x) – (x^2 – 3x)(x + 3) = x^3 + 4x – 2x^2 + 2x^2 + 8 – 4x -$$ $$(x^3 + 3x^2 – 3x^2 – 9x) = x^3 + 8 – (x^3 – 9x) =$$ $$x^3 + 8 – x^3 + 9x = 9x + 8$$.
Ответ: $$9x + 8$$
11. $$a^3 – (a – 4)(a^2 + 12 + 3a) – a(a + 3)$$. Ответ: $$- 3a + 48$$
12. $$(x + 2y – 2(x + y)) \cdot (x^2 – (x^2 + y))$$. Ответ: $$xy$$
13. Разложите на множители выражение $$135a^{12} b^8 + 90a^{10} b^{11} – 36a^6 b^{16}$$.
Решение:
Так как среди степеней выражений $$a^{12} ,\,\,\,a^{10}$$ и $$a^6$$ наименьшая степень равна 6; среди степеней выражений $$b^8 ,\,\,\,b^{11}$$ и $$b^{16}$$ наименьшая равна 8 и наибольший общий делитель чисел 135, 90 и 36 равен 9, то общий множитель равен $$9a^6 b^8$$. Тогда $$135a^{12} b^8 + 90a^{10} b^{11} – 36a^6 b^{16} = 9a^6 b^8 (15a^6 + 10a^4 b^3 – 4b^8 )$$.
Ответ: $$9a^6 b^8 (15a^6 + 10a^4 b^3 – 4b^8 )$$
14. $$72a^5 x^4 – 54a^3 x^5 + 36a^2 x^6$$ . Ответ: $$18a^2 x^4 (4a^3 – 3ax + 2x^2 )$$
15. $$- 56c^7 (x + 1)^{10} + 42c^5 (x + 1)^{16} – 70c^4 (x + 1)^{20}$$.
Ответ: $$- 14c^4 (x + 1)^{10} (4c^3 – 3c(x + 1)^6 + 5(x + 1)^{10} )$$
16. Разложите на множители выражение $$(2x – 1)^3 + 1$$.
Решение:
Применим формулу сокращенного умножения $$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2 )$$
при $$a = 2x – 1$$ и $$b = 1:$$ $$(2x – 1)^3 + 1^3 = (2x – 1 + 1)((2x – 1)^2 – (2x – 1) \cdot 1 + 1^2 ) = 2x(4x^2 – 4x + 1 – 2x + 1 + 1) =$$ $$2x(4x^2 – 6x + 3).$$ Ко второму множителю нельзя применить формулу разложения квадратного трехчлена $$ax^2 + bx + c = a(x – x_1 )(x – x_2 )$$, так как дискриминант равен $$- 12 < 0$$.
Ответ: $$2x(4x^2 – 6x + 3)$$
17. $$27 + (x – 2)^3$$. Ответ: $$(x + 1)(x^2 – 7x + 19)$$
18. $$(2p + 1)^3 – 8$$. Ответ: $$(2p – 1)(4p^2 + 8p + 7)$$