ЕГЭ 2015 Демонстрационный вариант

Профильный уровень
Условия задач с ответами и решениями

Часть 1

1. Поезд отправился из Санкт-Петербурга в 23 часа 50 минут и прибыл в Москву в 7 часов 50 минут следующих суток. Сколько часов поезд находился в пути?

2. На рисунке точками показана средняя температура воздуха в Сочи за каждый месяц 1920 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для наглядности точки соединены линией. Определите по рисунку, сколько месяцев из данного периода средняя температура была больше 18 градусов Цельсия.

3. Строительный подрядчик планирует купить 15 тонн облицовочного кирпича у одного из трёх поставщиков. Один кирпич весит 5 кг. Цена кирпича и условия доставки всей покупки приведены в таблице.  Во сколько рублей обойдётся наиболее дешёвый вариант покупки с учётом доставки?

4.  Найдите площадь ромба, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см. Ответ дайте в см².

5.  В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

6. Найдите корень уравнения \(3^{x-5}=81\)

7. Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Найдите угол BOC, если угол BAC равен 32^o. Ответ дайте в градусах.

8. На рисунке изображен график дифференцируемой функции \(y=f(x)\). На оси абсцисс отмечены девять точек: \(x_1, x_2, …, x_9\). Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции \(y=f(x)\) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.

9. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр основания которого в 2 раза больше диаметра основания первого? Ответ выразите в см.

Часть 2

10. Найдите \(\sin\alpha\), если \(\cos\alpha=0,6\) и \(\pi<\alpha<2\pi\)

11. Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковой сигнал частотой 749 МГц. Приёмник регистрирует частоту сигнала, отражённого от дна океана. Скорость погружения батискафа (в м/с) и частоты связаны соотношением \(v=c\cdot\displaystyle\frac{f-f_{0}}{f+f_{0}}\) ,где c = 1500 м/с — скорость звука в воде; f0— частота испускаемого сигнала (в МГц); f — частота отражённого сигнала (в МГц). Найдите частоту (в МГц) отражённого сигнала, если батискаф погружается со скоростью 2 м/с.

12. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром снования конуса. Радиус сферы равен \(10\sqrt{2}\). Найдите образующую конуса.

13. Весной катер идёт против течения реки в \(1\frac{3}{2}\)  раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в \(1\frac{1}{2}\) раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).

14. Найдите точку максимума функции \(y=\ln(x+4)^2+2x+7\)

15. а) Решите уравнение \(\cos 2x=1-\cos(\frac{\pi}{2}-x)\); б) Найдите все корни этого уравнения принадлежащие промежутку \([-5\pi/2; -\pi)\)

16. В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит квадрат ABCD со стороной 2, а высота призмы равна 1. Точка Е лежит на диагонали BD₁, причем BE равно 1. a) Постройте сечение призмы плоскостью A₁C₁E. б)  Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью АВС.

17. Решите неравенство \(\log_{x-1}\sqrt{x+2}\cdot\log_3(x^2-2x+1)\ge\log_9(10-x)\)

18. Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C. а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны. б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

19. 31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

20. Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции \(f(x)=2ax+|x^2-8x+7| \) больше 1.

21.  На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -8. а) Сколько чисел написано на доске? б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

смотрите еще Репетиционное ЕГЭ 2015 11 класс 

Ответы

1. 8
2. 4
3. 54000
4. 12
5. 0,92
6. 9
7. 64
8. 3
9. 4
10. -0,8
11. 751
12. 20
13. 1.875 км/ч
14. -5
15. а)\(\pi n, n\in Z\); \((-1)^k\pi/6+\pi k, k\in Z\) б) \(-2\pi; -11\pi/6; -7\pi/6\)
16. arctg \(\sqrt{2}\)
17. (1;2), (2;10)
18. 3,2
19. 3 993 000 рублей
20. \(1/2<a<4+\sqrt{6}\)
21. а) 44; б) отрицательных; в) 17