ЕГЭ по математике 2015

Пробная работа 23 апреля 2015 Брянск

Профильный уровень

Вариант 2

Условия задач с ответами и решениями 

1. В книге Елены Молоховец «Подарок молодым хозяйкам» имеется рецепт пирога с черносливом. Для пирога на 8 человек следует взять 3/4 фунта чернослива. Сколько граммов чернослива следует взять для пирога, рассчитанного на 4 человек? Считайте, что 1 фунт равен 0,4 кг.

2. На рисунке жирными точками показана цена никеля на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 6 по 20 мая 2009 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена тонны никеля в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода цена никеля на момент закрытия торгов была меньше 12600 долларов США за тонну. 

3. В таблице даны условия банковского вклада в трех различных банках. Предполагается, что клиент кладет на счет 10000 рублей на срок 1 год. В каком банке к концу года вклад окажется наибольшим? В ответе укажите сумму этого вклада в рублях.
   

   Банк	Обслуживание счета*	Процентная ставка (% годовых)**
   Банк А	10 руб в год	2
   Банк Б	8 руб в месяц	3,5
   Банк В	бесплатно	1,5

   * В начале года или месяца со счета снимается указанная сумма в уплату за ведение счета

   ** В конце года вклад увеличивается на указанное количество процентов.

4. Найдите тангенс угла АОВ.  

5. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

6. Решите уравнение \(\log_{x-5}49=2\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

7. Диагонали четырехугольника равны 4 и 5. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

8. На рисунке изображен график \(y=f'(x)\) – производной функции \(y=f(x)\), определенной на интервале \((-3;9)\). В какой точке отрезка \([-2;2]\) функция \(y=f(x)\) принимает наибольшее значение? 

9. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен \(8\sqrt{3}\) , а высота равна 7.
10. Найдите значение выражения \(x+\sqrt{x^2-4x+4}\) при \(x\le 2\).

11. Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой \(\displaystyle\frac{T_1-T_2}{T_1}\cdot 100\), где \(T_1\) – температура нагревателя (в градусах Кельвина), \(T_2\) – температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя \(T_1\) КПД этого двигателя будет не меньше 15%, если температура холодильника \(T_2=340\) К? Ответ выразите в градусах Кельвина.

12. В правильной шестиугольной призме \(ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\) все ребра равны \(23\). Найдите угол \(F_1FD_1\). Ответ дайте в градусах.

13. Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали выполнять два одинаковых заказа. В первой бригаде было 16 рабочих, а во второй — 25 рабочих. Через 7 дней после начала работы в первую бригаду перешли 8 рабочих из второй бригады. В итоге оба заказа были выполнены одновременно. Найдите, сколько дней потребовалось на выполнение заказов.

14. Найдите наименьшее значение функции \(y=2\sin x+\displaystyle\frac{30}{\pi}\cdot x+3\) на отрезке \([-5\pi/6;0]\).
15. а) Решите уравнение \(\log_3(3\sin 2x-2\sin x-3\cos x+4)=1\)
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \([-11\pi/2; -7\pi/2]\).
16. На ребрах \(AA_1\), \(CC_1\), \(C_1D_1\) параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) расположены соответственно точки \(M, N, P\) так, что \(AM : AA_1 = C_1N:C_1C=C_1P:C_1D_1=4:5\). а) Постройте точку \(H\) пересечения плоскостей \(MNP\) с прямой \(BC\). б) Найдите отношение \(BH:BC\).
17. Решите неравенство \(|0,5^x-1|\ge 5+\displaystyle\frac{1}{7-|0,5^x-1|}\)
18. Дан треугольник АВС.
    а) Докажите, что радиус вневписанной окружности, касающейся стороны ВС треугольника АВС, вычисляется по формуле  \(r_a=\displaystyle\frac{S}{p-a}\).
    б) Найдите радиус вневписанной окружности, касающейся основания ВС равнобедренного треугольника АВС, если высота, опущенная на основание, равна 18, а радиус окружности, описанной около треугольника, равен 25.
19. Часть денег от капитала в 500 млн рублей размещена в банке под 17% годовых, а другая часть инвестирована в производство, причем через год эффективность вложения ожидается в размере 240% (то есть вложенная сумма денег х руб. оборачивается в капитал 2,4х руб.). Затем отчисляются деньги на издержки, которые задаются квадратичной зависимостью 0,00275x² . Прибыль от производства облагается налогом в 10%. Как распределить капитал между банком и производством, чтобы через год получить общую максимальную прибыль от размещения денег в банк и вложения денег в производство? Сколько рублей составит эта прибыль?
20. При каких значениях параметра \(a\) система \(\left\{\begin{array}{l l} x^2+(4a-2)x+3a^2>6a,\\ x^2+(2a-1)x\le 3a^2-5a+2 \end{array}\right.\) имеет хотя бы одно решение?
21. Можно ли расставить \(n\) натуральных чисел от \(1\) до \(n\) в таком порядке, чтобы среднее арифметическое любой группы из двух или более идущих чисел не было целым: а) при \(n=7\); б) при \(n=2k+1\); в) при \(n=8\); г) при \(n=2k\)?

смотрите еще ЕГЭ 2015 Диагностическая работа от 22 апреля  и ЕГЭ 23 апреля Брянск Вариант 1

Ответы и решения (в процессе…)

1. 150
2. 6
3. Б, 10250,64 р
4. 1
5. 0,91
6. 12
7. 9
8. -2
9. 504
10. 2
11. 400
12. 60
13. 16
14. -23
15. а) \(\pm arccos\frac{1}{3}+2\pi k, k\in Z\), \((-1)^n\pi/6+\pi n, n\in Z\) б) \(-23\pi/6; -31\pi/6; -4\pi\pm arccos(1/3)\)
16. –
17. \((-\infty; -3)\cup \){\(\log_{0,5}7\)}
18. 72
19. –
20. \((-\infty; 1/4)\cup (3/2; +\infty)\)
21. –