Досрочный ЕГЭ по математике апрель 2014
Условия задач с ответами и решениями

B1. Установка двух счётчиков воды (холодной и горячей) стоит 3000 рублей. До установки счётчиков за воду платили 1100 рублей ежемесячно. После установки счётчиков ежемесячная оплата воды стала составлять 700 рублей. Через какое наименьшее количество месяцев экономия по оплате воды превысит затраты на установку счётчиков, если тарифы на воду не изменятся?

B2. Магазин делает пенсионерам скидку на определенное количество процентов от цены покупки. Упаковка сосисок стоит в магазине 100 рублей. Пенсионер заплатил за упаковку сосисок 92 рубля. Сколько процентов составляет скидка для пенсионеров?

B3. На рисунке жирными точками показана цена олова на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 3 по 18 сентября 2007 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена тонны олова в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа цена олова на момент закрытия торгов впервые за данный период стала равна 14900 долларов США за тонну.

B4. Для строительства гаража можно использовать один из двух типов фундамента: бетонный или фундамент из пеноблоков. Для фундамента из пеноблоков необходимо 2 кубометра пеноблоков и 4 мешка цемента. Для бетонного фундамента необходимо 2 тонны щебня и 20 мешков цемента. Кубометр пеноблоков стоит 2450 рублей, щебень стоит 620 рублей за тонну, а мешок цемента стоит 230 рублей. Сколько рублей будет стоить материал, если выбрать наиболее дешевый вариант?

B5. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки A, B, C. Найдите расстояние от точки A до прямой BC.

B6. В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 11 из них встречается вопрос по теме “Логарифмы”. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме “Логарифмы”.

B7. Найдите корень уравнения \(\sqrt[3]{x-9}=4\).

B8. В треугольнике АВС угол А равен 41° , а углы B и C – острые, BD и CE – высоты, пересекающиеся в точке О. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

B9. На рисунке изображен график функции  y = f ‘(x) – производной функции f(x),  определенной на интервале (-2;9). В какой точке отрезка [2;6] функция f (x) принимает наименьшее значение?

B10. Куб описан около сферы радиуса 6. Найдите объём куба.

B11. Найдите значение выражения \(\log_57\cdot\log_7{25}\).

B12. Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому \(P=\sigma\cdot S\cdot T^4\), где \(P\) – мощность излучения звезды, \(\sigma=5,7\cdot 10^{-8}\) Вт/(м²К⁴)  – постоянная, \(S\) – площадь звезды, а \(T\) – температура. Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна \(\frac{1}{128}\cdot10^{21}\) м², а мощность ее излучения равна \(1,14\cdot 10^{26}\) Вт. Найдите температуру этой звезды в градусах Кельвина.

B13. В правильной четырехугольной пирамиде все ребра равны 1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых ребер.

B14. Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 19 км. Путь из А в В занял у туриста 13 часов, из которых 6 часов ушёл на спуск. Найдите скорость туриста на спуске, если она больше скорости на подъёме на 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

B15. Найдите наименьшее значение функции \(y=(x-63)e^{x-62}\) на отрезке \([61; 63]\)

С1. а) Решите уравнение \(9^{\sin x}+9^{-\sin x}=\frac{10}{3}\); б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-\frac{7\pi}{2}; -2\pi]\).

С2. Радиус основания конуса с вершиной Р равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки А и В, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1 : 3. Найдите площадь сечения конуса плоскостью АВР.

С3. Решите систему неравенств \(\left\{\begin{array}{l l} 3^x+\frac{54}{3^x}\geq 29,\\\log_{x+3}\frac{x+1}{4}\leq 0\end{array}\right.\)

С4. Около остроугольного треугольника АВС описана окружность с центром О. На продолжении отрезка АО за точку О отмечена точка К так, что сумма углов ВАС и АКС равна 90^о. а) Докажите, что четырехугольник ОВКС вписанный; б) Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника ОВКС, если косинус угла ВАС равен 0,6 и ВС = 48.

С5. Найдите все значения \(a\), при которых уравнение \(\sqrt{x^4+(a-5)^4}=|x+a-5|+|x-a+5|\) имеет единственное решение.

С6. На окружности некоторым образом расставили натуральные числа от 1 до 21 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего. а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 11? б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 10? в) Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k?

Ответы

B1. 8
B2. 8
B3. 6
B4. 5820
B5. 4
B6. 0,55
B7. 73
B8. 139
B9. 2
B10. 1728
B11. 2
B12. 4000
B13. 0,25
B14. 2
B15. -1
C1. а)\(\pm \pi/6+n\pi, n\in Z\); б) \(-19\pi/6;-17\pi/6; -13\pi/6\)
C2. \(9\sqrt{14}\)
C3. \((-1; \log_32]\)U{3}
C4. а) верно б) 25
C5. 3; 7
C6. а) нет б) да в) 6