Условия задач олимпиады по математике МФТИ 2015
- Решите уравнение \(\displaystyle\frac{|\cos x|-\cos 3x}{\cos x\cdot\sin 2x}=\frac{2}{\sqrt{3}}\)
- Решите уравнение \(\displaystyle (\frac{3x}{2})^{\log_3(8x)}=\frac{x^7}{8}\)
- Найдите количество натуральных чисел \(k\), не превосходящих 291000 и таких, что \(k^2-1\) делится на 291 нацело.
- Решите систему \(\left\{\begin{array}{l l}x^2+y^2\le 2 ,\\81x^4-18x^2y^2+y^4-360x^2-40y^2+400=0\end{array}\right.\)
- На ребре \(AA_1\) правильной треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) взята точка \(T\) такая, что \(AT:A_1T=4:1\). Точка \(T\) является вершиной прямого кругового конуса, такого что три вершины призмы принадлежат окружности основания. а) Найдите отношение высоты призмы к ребру ее основания; б) Пусть дополнительно известно, что \(BB_1\) равно 5. Найдите объем конуса.
- Найдите все значения параметра \(b\), для каждого из которых найдется число \(a\) такое, что система уравнений \(\left\{\begin{array}{l l}x=|y-b|+\frac{3}{b} ,\\x^2+y^2+32=a(2y-a)+12x\end{array}\right.\) имеет хотя бы одно решение \((x,y)\).
- Четырехугольник \(ABCD\) вписан в окружность с центром \(O\). Две окружности \(\Omega_1\) и \(\Omega_2\) равных радиусов с центрами \(O_1\) и \(O_2\) вписаны в углы \(BAD\) и \(BCD\) соответственно. При этом первая окружность касается стороны \(AD\) в точке \(K\), а вторая окружность касается стороны \(BC\) в точке \(T\). а) Найдите радиус окружности \(\Omega_1\), если \(AK=2\) и \(CT=8\). б) Пусть дополнительно известно, что точка \(O_2\) является центром окружности, описанной около треугольника \(BOC\). Найдите угол \(BDC\).
Варианты вступительных экзаменов
