§ 1.2 Классическое определение вероятности

к содержанию учебника

Вероятностью события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех равно­возможных исходов опыта в котором может появиться это  событие. Вероятность события А обозначают через Р(А) (здесь Р – первая буква французского слова probabilite – вероятность). В соответствии с определением
\(P(A)=\frac{m}{n},\)  (1.2.1)
где \(m\) – число элементарных исходов, благоприятствующих событию А; \(n\) – число всех равновозможных элементарных исходов опыта, образующих полную группу событий.
Это определение вероятности называют классическим. Оно возникло на начальном этапе развития теории вероятностей.

Вероятность события имеет следующие свойства:
1. Вероятность достоверного события равна единице. Обозначим достоверное событие буквой \(U\). Для достоверного события \(m = n\), поэтому
\(P(U)=1\)  (1.2.2)
2. Вероятность невозможного события равна нулю. Обозначим невозможное событие буквой \(V\). Для невозможного события \(m=0\), поэтому
\(P(V)=0\) (1.2.3)
3. Вероятность случайного события выражается положительным числом, меньшим единицы. Поскольку для случайного события \(A\) выполняются неравенства \(0<m<n\), или \(0<\frac{m}{n}<1\), то
\(0<P(A)<1\) (1.2.4)
4. Вероятность любого события \(B\) удовлетворяет неравенствам
\(0\le P(B)\le 1 \) (1.2.5)
Это следует из соотношений (1.2.2) -(1.2.4).

Пример 1. В урне 10 одинаковых по размерам и весу шаров, из ко­торых 4 красных и 6 голубых. из урны извлекается один шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется голубым?

Решение. Событие “извлеченный шар оказался голубым” обозначим буквой А. Данное испытание имеет 10 равновозможных элементарных исходов, из которых 6 благоприятствуют событию А. В соответствии с формулой (1.2.1) получаем
\(P(A)=\frac{6}{10}=0,6\)

Пример 2. Все натуральные числа от 1 до 30 записаны на одинако­вых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того,что число на взятой карточке окажется кратным 5?

Решение. Обозначим через А событие “число на взятой карточке кратно 5”. В данном испытании имеется 30 равновозможных элементар­ных исходов, из которых событию А благоприятствуют 6 исходов (числа 5, 10, 15, 20, 25, 30). Следовательно, \(P(A)=\frac{6}{30}=0,2\)

Пример 3. Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Найти вероятность события В, состоя­щего в том, что на верхних гранях кубиков в сумме будет 9 очков.

Решение. В этом испытании всего 6² = 36 равновозможных элемен­тарных исходов. Событию В благоприятствуют 4 исхода: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), поэтому
\(P(B)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\)

Пример 4. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 10. Какова вероятность того, что это число является простым?

Решение. Обозначим буквой С событие “выбранное число является простым”. В данном случае n = 10, m = 4 (простые числа 2, 3, 5, 7). Следовательно, искомая вероятность
\(P(C)=\frac{4}{10}=0,4\)

Пример 5. Подбрасываются две симметричные монеты. Чему равна вероятность того, что на верхних сторонах обеих монет оказались цифры?

Решение. Обозначим буквой D событие “на верхней стороне каж­дой монеты оказалась цифра”. В этом испытании 4 равновозможных элементарных исходов: (Г, Г), (Г, Ц), (Ц, Г), (Ц, Ц). (Запись (Г, Ц) озна­чает, что на первой монете герб, на второй – цифра). Событию D благо­приятствует один элементарный исход (Ц, Ц). Поскольку m = 1, n = 4 , то
\(P(D)=\frac{1}{4}=0,25\)

Пример 6. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном дву­значном числе цифры одинаковы?

Решение. Двузначными числами являются числа от 10 до 99; всего таких чисел 90. Одинаковые цифры имеют 9 чисел (это числа 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Так как в данном случае m = 9, n = 90, то
\(P(A)=\frac{9}{90}=0,1\),
где А -событие “число с одинаковыми цифрами”.

Пример 7. Из букв слова дифференциал наугад выбирается одна буква. Какова вероятность того, что эта буква будет: а) гласной, б) согласной, в) буквой ч?

Решение. В слове дuфференцuал 12 букв, из них 5 гласных и 7 со­гласных. Буквы ч в этом слове нет. Обозначим события: А – “гласная буква”, В – “согласная буква”, С – “буква ч“. Число благоприятствующих элементарных исходов: \(m_1 = 5\) -для события А, \(m_2=7\) – для события В, \(m_3=0\) – для события С. Поскольку n = 12 , то
\(P(A)=\frac{5}{12}\), \(P(B)=\frac{7}{12}\) и \(P(C)=0\).

Пример 8. Подбрасывается два игральных кубика, отмечается чис­ло очков на верхней грани каждого кубика. Найти вероятность того, на обоих кубиках выпало одинаковое число очков.

Решение. Обозначим это событие буквой А. Событюо А благопри­ятствуют 6 элементарных исходов: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6). Всего равновозможных элементарных исходов, образующих полную группу событий, в данном случае n=6²=36. Значит, искомая вероятность \(P(A)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\)

Пример 9. В книге 300 страниц. Чему равна вероятность того, что наугад открытая страница будет иметь порядковый номер, кратный 5?

Решение. Из условия задачи следует, что всех равновозможных элементарных исходов, образующих полную группу событий, будет n = 300. Из них m = 60 благоприятствуют наступлению указанного со­бытия. Действительно, номер, кратный 5, имеет вид 5k, где k -натураль­ное число, причем \(0<5k\le 300\), откуда \(k\le 300/5=60\). Следовательно,
\(P(A)=\frac{60}{300}=\frac{1}{5}\), где А – событие “страница’ имеет порядковый номер, кратный 5”.

Пример 10. Подбрасываются два игральных кубика, подсчитыва­ется сумма очков на верхних гранях. Что вероятнее -получить в сумме 7 или 8?

Решение. Обозначим события: А – “выпало 7 очков”, В – “выпало 8 очков”. Событию А благоприятствуют 6 элементарных исходов: (1; 6), (2; 5),(3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), а событию В – 5 исходов: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Всех равновозможных элементарных исходов n = 6² = 36. Значит, \(P(A)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\) и \(P(B)=\frac{5}{36}\).

Итак, Р(А)>Р(В), то есть получить в сумме 7 очков – более вероятное собы­тие, чем получить в сумме 8 очков.

Задачи

1. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 30. Како­ва вероятность того, что это число кратно 3?
2. В урне a красных и b голубых шаров, одинаковых по размерам и весу. Чему равна вероятность того, что наудачу извлеченный шар из этой урны окажется голубым?
3. Наудачу· выбрано число, не превосходящее 30. Какова вероятность того, что это число является делителем зо?
4. В урне а голубых и b красных шаров, одинаковых по размерам и весу. Из этой урны извлекают один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался красным. После этого из урны вынимают еще один шар. Найти вероятность того, что второй шар также красный.
5. Наудачу выбрано наryральное число, не превосходящее 50. Какова вероятность того, что это число является простым?
6. Подбрасывается три игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Что вероятнее – получить в сумме 9 или 10 оч­ков?
7. Подбрасывается три игральных кубика, подсчитывается сумма выпавших очков. Что вероятнее – получить в сумме 11 (событие А) или 12 очков (событие В)?

Ответы

1. 1/3. 2. b/(a+b). 3. 0,2. 4. (b-1)/(a+b-1). 5.0,3.6. p₁ = 25/216 – вероятность получить в сумме 9 очков; p₂ = 27/216 – вероятность получить в сумме 10 очков; p₂ > p₁ 7. Р(А) = 27/216, Р(В) = 25/216, Р(А) > Р(В).

Вопросы

1. Что называют вероятностью события?
2. Чему равна вероятность достоверного события?
3. Чему равна вероятность невозможного события?
4. В каких пределах заключена вероятность случайного события?
5. В каких пределах заключена вероятность любого события?
6. Какое определение вероятности называют классическим?

к содержанию учебника