Урок 46[2]. Стереометрия. Параллелепипеды и призмы

Домашнее задание из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

1. Через одну из сторон основания правильной трехгранной призмы проведена плоскость под углом $\alpha$ к основанию, отсекающая от призмы пирамиду  объема V. Определите площадь сечения.
2. Дана прямая призма, у которой основанием служит правильный треугольник. Через одну из сторон нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания проведена плоскость. Угол между этой плоскостью и основанием призмы равен $\alpha$, а площадь сечения равна S. Определите объем призмы.
3. Через середину диагонали куба перпендикулярно к ней проведена плоскость. Определите площадь фигуры, получившейся в сечении куба этой плоскостью, если ребро куба равно a.
4. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁, где AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁ - боковые ребра. В каком отношении делит ребро B₁C₁ точка Е, которая принадлежит плоскости, проходящей через вершину А и центры граней A₁B₁C₁D₁ и B₁C₁CB?
5. Ребро куба равно a. Найдите объем прямого кругового цилиндра, вписанного в куб так, что осью его является диагональ d куба, а окружности оснований касаются тех диагоналей граней куба, которые не имеют общих точек с диагональю d.
6. Дана прямая треугольная призма ABCA₁B₁C₁ (AA₁, BB₁ и CC₁ - боковые ребра), у которой AC = 6 и AA₁ = 8. Через вершину А проведена плоскость, пересекающая ребра BB₁ и CC₁ соответственно в точках M и N. Найдите, в каком отношении делит эта плоскость объем призмы, если известно, что BM = MB₁, а AN является биссектрисой угла CAC₁.
7. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с боковыми ребрами AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁. На продолжениях ребер AB и BB₁ взяты точки M и N соответственно так, что AM = B₁N = AB/2 (BM = BN = 3AB/2).Где на ребре CC₁ должна находиться точка P для того, чтобы в сечении куба плоскостью, проведенной через точки M, N и P, был пятиугольник?
8. Найдите тень куба на плоскость, перпендикулярную к его диагонали, от пучка лучей, параллельных этой диагонали.
9. Основанием наклонной призмы служит прямоугольник со сторонами a и b. Две смежные боковые грани составляют с плоскостью основания углы $\alpha$ и $\beta$. Найдите объем призмы, если боковое ребро равно с.
10. В правильной треугольной призме плоскость, проведенная через центр основания и центры симметрий двух боковых граней, составляет с плоскостью основания острый угол $\alpha$. Найдите площадь сечения, образованного этой плоскостью, если сторона основания равна a.
11. Основанием прямой призмы, описанной около шара радиуса r, служит прямоугольный треугольник с острым углом $\alpha$.  Найдите объем призмы.
12. В основании прямой призмы лежит равнобедренная трапеция, диагонали которой перпендикулярны соответствующим боковым сторонам. Угол между диагоналями трапеции, противолежащий ее боковой стороне, равен $\alpha$. Отрезок прямой, соединяющий вершину верхнего основания с центром окружности, описанной около нижнего основания, равен p и образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите объем призмы.
13. В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ (AA₁ параллельно BB₁) через середины двух смежных сторон основания DC и AD и вершину B₁ верхнего основания проведена плоскость. Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания, если периметр сечения в три раза больше диагонали основания.
14. В основании прямой призмы лежит параллелограмм с острым углом $\alpha$. Диагонали призмы составляют с плоскостью основания углы $\beta$ и $\gamma$ ($\beta < \gamma)$. Найдите объем призмы, если ее высота равна Н.
15. Через концы трех ребер, выходящих из вершин, B, D, A₁ и C₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро которого равно а, проведены плоскости. Докажите, что полученная фигура есть правильный тетраэдр, и найдите его объем.
16. В основании прямой призмы лежит треугольник со сторонами 6, 8 и 10. Некоторое плоское сечение этой призмы отсекает от боковых ребер, проходящих через вершины большего и среднего углов основания, отрезки, равные по 12 каждый, а от ребра, проходящего через вершину меньшего угла основания, - отрезок длиной 18. Найдите объем и площадь полной поверхности фигуры, ограниченной плоскостью основания призмы, плоскостями боковых граней и плоскостью сечения.
17. Два куба с ребром, равным a, имеют общий отрезок, соединяющий центры двух противоположных граней, но один куб повернут на 45^о по отношению к другому. Найдите объем общей части этих кубов.
18. Площадь того сечения куба, которое представляет собой правильный шестиугольник, равна Q. Найдите полную поверхность куба.
19. В основании призмы лежит трапеция. Площади параллельных боковых граней равны S₁ и S₂, а расстояние между ними равно h. Найдите объем призмы.
20. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Через его вершины A, C и D1 проведена плоскость, образующая с плоскостью основания двугранный угол 60^о.  Стороны основания равны 3 и 4. Найдите объем параллелепипеда.

Ответы к домашнему заданию урока 46 из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

1. $\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}V^2}{\sin^2\alpha\cos\alpha}}$
2. $\sqrt[4]{3}(S\cos\alpha)^{3/2}$
3. $3a^2\sqrt{3}/4$
4. 2 : 1
5. $\pi a^3\sqrt{3}/18$
6. 7 : 17
7. Точка P должна совпадать с точкой C
8. Правильный шестиугольник
9. $\frac{abc}{\sqrt{1+ctg^2\alpha+ctg^2\beta}}$
10. $\frac{a^2\sqrt{3}}{12\cos\alpha}$
11. $2r^3 ctg\frac{\alpha}{2} ctg (\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})$
12. $p^3\sin 2\beta\cos\beta\sin\alpha\cos^2\frac{\alpha}{2}$
13. arccos(3/4)
14. $\displaystyle\frac{H^3\sin (\gamma+\beta)\sin (\gamma-\beta) tg\alpha}{4\sin^2\beta\sin^2\gamma}$
15. $V=a^3/3$
16. 336 и 396
17. $2a^3(\sqrt{2}-1)$
18. $8Q/\sqrt{3}$
19. $(S_1+S_2)h/2$
20. $144\sqrt{3}/5$