Решение текстовых задач на работу

Задачи 4 - 6

Весь список текстовых задач на работу здесь.

4. Условие задачи: Два мастера, из которых второй начинает работать на 1,5 дня позже первого, могут выполнить задание за 7 дней. Если бы это задание выполнял каждый отдельно, то первому потребовалось бы на 3 дня больше, чем второму. За сколько дней каждый мастер в отдельности выполнил бы это задание?
   Решение: Пусть $p_1$ - производительность первого мастера, $p_2$ - производительность второго мастера. Первое уравнение имеет вид $7p_1+5,5p_2=1$, так как первый мастер работал 7 дней, а второй $7-1,5=5,5$ дней, при этом вся работа принята за 1. Второй уравнение имеет вид $\displaystyle\frac{1}{p_1}=\frac{1}{p_2}+3$, так как $\displaystyle\frac{1}{p_1}$ - время, затраченное первый мастером на выполнение всей работы отдельно от второго мастера, $\displaystyle\frac{1}{p_2}$ - время, затраченное вторым мастером на выполнение всей работы отдельно от первого мастера.  Полученная система решается методом подстановки: из первого уравнения можно выразить $p_1=\displaystyle\frac{1-5,5p_2}{7}$ и подставить во второе уравнение, которое примет вид $16,5p_2^2+9,5p_2-1=0$, откуда $p_2=\frac{1}{11}$ и $p_1=\frac{1}{14}$.
   Ответ: 11 дней и 14 дней
5. Условие задачи:  Бассейн может наполнится водой из двух кранов. Если первый кран открыть на 10 мин, а второй - на 20 мин, то бассейн будет наполнен. Если первый кран открыть на 5 мин, а второй - на 15 мин, то заполнится 3/5 бассейна. За какое время из каждого крана в отдельности может заполниться весь бассейн?
   Решение:  Пусть из первого крана можно заполнить бассейн за $x$ минут, а из второго - за $y$ мин. Первый заполняет за одну минуту $\frac{1}{x}$ часть бассейна, а второй - $\frac{1}{y}$. За 10 мин из первого крана заполнится $\frac{10}{x}$ часть бассейна, а за 20 мин из второго крана - $\frac{20}{y}$ часть бассейна. Так как бассейн будет заполнен, то получаем первое уравнение $\frac{10}{x}+\frac{20}{x}=1$. Аналогично составляем второе уравнение, с учетом того, что заполняется не весь бассейн, а только $\frac{3}{5}$ его объема: $\frac{5}{x}+\frac{15}{y}=\frac{3}{5}$. Полученная система легко решается относительно $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{y}$ - методом подстановки.
   Ответ: 50/3 мин, 50 мин
6. Условие задачи: Двум машинисткам было поручено выполнить некоторое задание. Вторая приступила к работе на 1 ч позже первой. Через 3 ч после того как первая начала работу, им осталось выполнить еще $\frac{9}{20}$ всего задания. По окончании работы оказалось, что каждая машинистка выполнила половину всего задания. За сколько часов каждая из них в отдельности могла бы выполнить все задание?
   Решение: Пусть первой машинистке для выполнения всего задания требуется $x$ часов, а второй - $y$ часов. Когда первая проработала 3 ч, вторая проработала 2 ч, причем обе они выполнили $1-\frac{9}{20}=\frac{11}{20}$ всего задания. Получаем уравнение $\frac{3}{x}+\frac{2}{y}=\frac{11}{20}$.
   По окончании работы выяснилось, что каждая машинистка выполнила половину всего задания. Значит, первая потратила $\frac{x}{2}$ ч, а вторая - $\frac{y}{2}$ ч. Так как первая машинистка работала на 1 ч больше, чем вторая, то приходим к уравнению $\frac{x}{2}-\frac{y}{2}=1$.
   В полученной системе уравнение одно из решений содержит отрицательный $y$, что противоречит условию задачи. Следовательно, только одно из решений является ответом исходной задачи.
   Ответ: за 10 ч, за 8 ч