Теоремы о дифференцируемых функциях
Производная обратной функции
Если обратимая функция \(y=f(x)\) имеет производную в точке \(x_0\), причем \(f'(x_0)\ne0\), и возрастает (убывает) в некоторой окрестности этой точки, тогда обратная функция \(x=f^{-1}(y)\) имеет производную в точке \(y_o=f(x_0)\), причем
\((f^{-1})'(y_0)=\displaystyle\frac{1}{f'(x_0)}\)
Теорема Ролля
Если функция \(y=f(x)\) непрерывна на отрезке \([a,b]\) и дифференцируема на интервале \((a,b)\) и \(f(a)=f(b)\), то существует такая точка \(c\in(a;b)\), что \(f'(c)=0\)
Теорема Лагранжа (формула конечных приращений)
Если функция \(y=f(x)\) непрерывна на отрезке \([a,b]\) и дифференцируема на интервале \((a,b)\), то существует такая точка \(c\in(a;b)\), что \(f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)\)
Теорема Коши
Если функции \(y=f(x)\) и \(y=g(x)\) непрерывны на отрезке \([a,b]\), дифференцируемы на интервале \((a,b)\) и \(g'(x)\ne0\) при \(x\in(a,b)\), то существует такая точка \(c\in(a;b)\), что \(\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}\)