Справочник. Применение производной функции

Справочник по математике

Применение производной функции

к содержанию справочника

Уравнение касательной

Если функция $y=f(x)$ имеет производную в точке $x_0$ , то уравнение касательной в точке $A(x_0; f(x_0))$ имеет вид

$y=f(x_0)+f'(x_0)\cdot (x-x_0)$

Уравнение нормали

$y=f(x_0)-\displaystyle\frac{1}{f'(x_0)}\cdot (x-x_0)$

Монотонность функции

Для того чтобы дифференцируемая на $(a;b)$ функция $y=f(x)$ не убывала (не возрастала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы $f'(x)\geq 0$ $(f'(x)\leq 0)$ для всех $x$ из интервала $(a;b)$ . Если же для любого $x$ из $(a;b)$ известно, что $f'(x)>0$ $(f'(x)<0)$ , то функция $y=f(x)$ возрастает (убывает) на этом интервале.

Экстремумы функции

Критические точки - внутренние точки области определения, в которых производная не существует или равна нулю

Теорема Ферма. Если $x_0$ - точка экстремума функции $y=f(x)$ и в этой точке существует производная, то $f'(x)=0$

Первое достаточное условие экстремума

Пусть функция $y=f(x)$ определена на интервале $(a;b)$ и непрерывная в точке $x_0$ из этого интервала. Тогда:
а) Если $f'(x)>0$ на $(a;x_0)$ и $f'(x)<0$ на $(x_0;b)$ , то точка $x_0$ является точкой максимума
б) Если $f'(x)<0$ на $(a;x_0)$ и $f'(x)>0$ на $(x_0;b)$ , то точка $x_0$ является точкой минимума

Кратко: Если в точке $x_0$ производная меняет знак с плюса на минус, то $x_0$ есть точка максимума. Если с минуса на плюс, то $x_0$ есть точка минимума.

Второе достаточное условие экстремума

Если функция $y=f(x)$ в некоторой окрестности точки $x_0$ имеет непрерывную вторую производную и $f'(x_0)=0$ , $f''(x_0)\ne0$ , то $x_0$ - точка экстремума, причем точка максимума, если $f''(x_0)<0$ , и точка минимума, если $f''(x_0)>0$

Выпуклость функции

Если функция $y=f(x)$ в каждой точке из $(a,b)$ имеет непрерывную вторую производную и $f''(x)\ne0$ , то на этом промежутке функция выпуклая, причем если $f''(x)<0$ , то выпуклая вверх, а если $f''(x)>0$ , то выпуклая вниз