Применение определенного интеграла

перейти к содержанию справочника

Площадь криволинейной трапеции

Если $f(x)\ge0$, то $S=\int\limits_a^{b}f(x)dx$

Площадь фигуры, ограниченной линиями $y=f(x)$, $y=g(x)$, $x=a$, $x=b$

 $S=\int\limits_a^{b}|f(x)-g(x)|dx$

Площадь криволинейного сектора в полярных координатах

$S=\displaystyle\frac{1}{2}\int\limits_{\alpha}^{\beta}r^2(\varphi) d\varphi$

Объем фигуры через площади попереченых сечений

$V=\int\limits_a^{b}S(x)dx$

Объем фигуры, полученной вращением криволинейной трапеции

Вокруг оси $Ox$: $V=\pi\int\limits_a^{b}f^2(x)dx$

Вокруг оси $Oy$: $V=2\pi\int\limits_a^{b}xf(x)dx$

Длина кривой $y=f(x)$, $a\le x\le b$

$L=\int\limits_a^{b}\sqrt{1+(f'(x))^2}dx$

Длина кривой на плоскости, заданной параметрически

$x=x(t)$, $y=y(t)$, $\alpha\le t\le\beta$

$L=\int\limits_{\alpha}^{\beta}\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}dt$

Длина кривой в пространстве, заданной параметрически

$x=x(t)$, $y=y(t)$, $z=z(t)$, $\alpha\le t\le\beta$

$L=\int\limits_{\alpha}^{\beta}\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}dt$

Длина кривой в полярных координатах

$r=r(\varphi)$, $\alpha\le\varphi\le\beta$

$L=\int\limits_{\alpha}^{\beta}\sqrt{(r(\varphi))^2+(r'(\varphi))^2}d\varphi$

Площадь поверхности фигуры вращения

Вращение кривой $y=f(x)$, $a\le x\le b$ вокруг оси $Ox$

$S=2\pi\int\limits_a^{b}f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}dx$

Вращение кривой $x=x(t)$, $y=y(t)$, $\alpha\le t\le\beta$ вокруг оси $Ox$

$S=2\pi\int\limits_{\alpha}^{\beta}y(t)\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}dt$

Центр масс кривой $y=f(x)$, $a\le x\le b$, $p=p(x)$ - плотность кривой

Масса $m=\int\limits_a^{b}p(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}dx$

Статический момент относительно оси $Ox$ $M_x=\int\limits_a^{b}p(x)f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}dx$

Статический момент относительно оси $Oy$ $M_y=\int\limits_a^{b}p(x)x\sqrt{1+(f'(x))^2}dx$

Координаты центра масс

$x_0=\displaystyle\frac{M_y}{m}$ $\quad$ $y_0=\displaystyle\frac{M_x}{m}$

Центр масс криволинейной трапеции (плотность $p$ постоянна)

Масса $m=p\int\limits_a^{b}f(x)dx$

Статический момент относительно оси $Ox$ $M_x=\displaystyle\frac{p}{2}\int\limits_a^{b}f^2(x)dx$

Статический момент относительно оси $Oy$ $M_y=p\int\limits_a^{b}xf(x)dx$

Координаты центра масс

$x_0=\displaystyle\frac{M_y}{m}$ $\quad$  $y_0=\displaystyle\frac{M_x}{m}$

Физические приложения определенного интеграла

Путь, пройденный телом со скоростью $v=v(t)$ за промежуток времени $[t_1;t_2]$

$S=\int\limits_{t_1}^{t_2}v(t)dt$

Работа переменной силы, заданной функцией $y=F(x)$ и направленной вдоль оси $Ox$ на отрезке $[a;b]$

$A=\int\limits_{a}^{b}F(x)dx$