Справочник по математике
Периодические функции
- Функция
называется периодической, если существует такое число
, что при любом
из области определения функции числа
и
также принадлежат этой области и выполняется равенство
- Наименьший из положительных периодов функции (если он существует) называют основным (главным) периодом.
- Если
- период функции, то любое из чисел
, где
и
, является периодом этой функции. Например,
,
.
- Примеры. Функции синус и косинус периодические с основным периодом
. Функции тангенс и котангенс периодические с основным периодом
.
- Если
- основной период функции
, то число
является основным периодом функции
, где
- любое положительное число.
- Число
- основной период функции
и
- Если периодические функции
и
,
, имеют один и тот же период
, то их сумма, разность и произведение тоже будут периодическими функциями и число
будет их периодом.
- Периоды функций
и
называют соизмеримыми, если существуют такие целые отличные от нуля числа
и
, что
.
- Если периодические функции
и
,
, имеют соизмеримые периоды
и
, то они имеют общий период.
- Пусть
- сложная функция. Тогда, если функция
периодическая с периодом
, то и данная функция периодическая с периодом
. Но: если
- основной период функции
, то для функции
период
необязательно будет основным.