Справочник по математике

Периодические функции

к содержанию справочника

1. Функция $y=f(x)$ называется периодической, если существует такое число $T\ne0$, что при любом $x$ из области определения функции числа $x-T$ и $x+T$ также принадлежат этой области и выполняется равенство $f(x+T)=f(x)$
2. Наименьший из положительных периодов функции (если он существует) называют основным (главным) периодом.
3. Если $T$ - период функции, то любое из чисел $nT$, где $n\in Z$ и $n\ne0$, является периодом этой функции. Например, $2T$, $-5T$.
4. Примеры. Функции синус и косинус периодические с основным периодом $2\pi$. Функции тангенс и котангенс периодические с основным периодом $\pi$.
5. Если $T$ - основной период функции $y=f(x)$, то число $\displaystyle\frac{T}{a}$ является основным периодом функции $y=f(ax)$, где $a$ - любое положительное число.
6. Число $T=\displaystyle\frac{2\pi}{a}$ - основной период функции $y=A\sin(ax+b)$ и $y=A\cos(ax+b)$
7. Если периодические функции $y=f_1(x)$ и $y=f_2(x)$, $x\in D$, имеют один и тот же период $T$, то их сумма, разность и произведение тоже будут периодическими функциями и число $T$ будет их периодом.
8. Периоды функций $T_1$ и $T_2$ называют соизмеримыми, если существуют такие целые отличные от нуля числа $m$ и $n$, что $mT_1=nT_2$.
9. Если периодические функции $y=f_1(x)$ и $y=f_2(x)$, $x\in D$, имеют соизмеримые периоды $T_1$ и $T_2$, то они имеют общий период.
10. Пусть $y=g(f(x))$ - сложная функция. Тогда, если функция $y=f(x)$ периодическая с периодом $T$, то и данная функция периодическая с периодом $T$. Но: если $T$ - основной период функции $y=f(x)$, то для функции $y=g(f(x))$ период $T$ необязательно будет основным.