Математика. Вступительный экзамен МГАИ 1997

Вариант вступительных экзаменов по математике в Московский государственный авиационный институт

МГАИ, 1997 г.

  1. Решите уравнение \cos (x-\frac{\pi}{2})\sin\frac{\pi}{6}-\cos x\cos\frac{7\pi}{6}=0
  2. Решите систему уравнений \left\{\begin{array}{l l} x^2+x+y=3,\\ \frac{y}{x}-x=0 \end{array}\right.
  3. Площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды равна S, а угол между боковой гранью и плоскостью основания равен \alpha. Найдите сторону основания.
  4. Решите неравенство \frac{6}{|x-2|}\leq \frac{x-12}{x^2-4}+\frac{|x|}{x+2}.
  5. Найдите все значения a, при которых среди решений неравенства ((x-a)^2+y^2-4)(x^2+(y-a)^2-4)\leq 0 есть хотя бы одна пара (x; y), удовлетворяющая уравнению |x|+|y|=1.
  6. Все стороны четырехугольника ABCD различны по длине. Медианы треугольника ABC пересекаются в точке М, а N - середина отрезка, соединяющего середины сторон АВ и CD. Какие значения может принимать отношение DM : DN?

Ответы

  1. 2\pi/3+n\pi, n\in Z
  2. (1; 1), (-1,5; 2,25)
  3. \sqrt{2S\cos\alpha}/(\sqrt[4]{3}\cos\frac{\alpha}{2})
  4. (-2; 0]\cup [(7+\sqrt{145})/2; +\infty)
  5. [-3; -1]U[1;3]
  6. 4/3