Справочник по математике
Применение производной функции
Уравнение касательной
Если функция имеет производную в точке , то уравнение касательной в точке имеет вид
Уравнение нормали
Монотонность функции
Для того чтобы дифференцируемая на функция не убывала (не возрастала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы для всех из интервала . Если же для любого из известно, что , то функция возрастает (убывает) на этом интервале.
Экстремумы функции
Критические точки - внутренние точки области определения, в которых производная не существует или равна нулю
Теорема Ферма. Если - точка экстремума функции и в этой точке существует производная, то
Первое достаточное условие экстремума
Пусть функция определена на интервале и непрерывная в точке из этого интервала. Тогда:
а) Если на и на , то точка является точкой максимума
б) Если на и на , то точка является точкой минимума
Кратко: Если в точке производная меняет знак с плюса на минус, то есть точка максимума. Если с минуса на плюс, то есть точка минимума.
Второе достаточное условие экстремума
Если функция в некоторой окрестности точки имеет непрерывную вторую производную и , , то - точка экстремума, причем точка максимума, если , и точка минимума, если
Выпуклость функции
Если функция в каждой точке из имеет непрерывную вторую производную и , то на этом промежутке функция выпуклая, причем если , то выпуклая вверх, а если , то выпуклая вниз
Необходимое условие точки перегиба
Если - точка перегиба, то или не существует