Справочник по математике

Ряд Тейлора

к содержанию справочника

Формула Тейлора

$f(x)=f(a)+\displaystyle\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+...+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+o((x-a)^n)$

 Основные разложения в ряд Тейлора

1. $\quad e^x=1+\displaystyle\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}+..., x\in R$
2. $\quad \sin{x}=x-\displaystyle\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+..., x\in R$
3. $\quad \cos{x}=1-\displaystyle\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-...+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+...,x\in R$
4. $\quad \mathrm{ln}(1+x)=x-\displaystyle\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-...+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+...,x\in(-1;1]$
5. $\quad \mathrm{ln}(1-x)=-x-\displaystyle\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-...-\frac{x^n}{n}-...,x\in[-1;1)$
6. $\quad (1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\displaystyle\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+...+\frac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!}x^n+...,x\in(-1;1)$
7. $\quad \mathrm{arctg}{x}=x-\displaystyle\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-...+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}+...,x\in[-1;1]$
8. $\quad \arcsin{x}=x+\displaystyle\frac{1}{2\cdot3}x^3+\frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot5}x^5+...+\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+...,x\in[-1;1]$
9. $\quad \mathrm{sh}{x}=x+\displaystyle\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+...+\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+...,x\in R$
10. $\quad \mathrm{ch}{x}=x+\displaystyle\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+...+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+...,x\in R$
11. $\quad \displaystyle\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-...+(-1)^nx^n+...,x\in (-1;1)$
12. $\quad \displaystyle\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+...+x^n+...,x\in (-1;1)$
13. $\quad \sqrt{1+x}=1+\displaystyle\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+\frac{1}{16}x^3-...+(-1)^{n-1}\frac{(2n-3)!!}{(2n)!!}x^n+...,x\in [-1;1]$
14. $\quad \displaystyle\frac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+...+(n+1)x^n+...,x\in (-1;1)$